| dbo:abstract
|
- من أجل التطرق إلى نظرية المجموعات في العلوم الاجتماعية، انظر إلى مجموعة اجتماعية. في الرياضيات والجبر التجريدي، نظرية الزُمَر (بالإنجليزية: Group Theory) هي فرع من الرياضيات يهتم بدراسة بُنى جبرية معروفة باسم الزمر وخواصها.مفهوم الزمرة مركزي بالنسبة إلى الجبر التجريدي إضافة إلى بُنى جبرية أخرى كالحلقة والحقل والفضاء المتجهي. الحلقات والحقول والفضاءات المتجهية كلهن زمر مزودةً بعمليات وموضوعات إضافية. يُتطرق إلى نظرية الزمر في مجالات مختلفة من الرياضيات، كما أثرت الطرق المستعملة في نظرية الزمر في عدة فروع من الجبر. زمر الجبر الخطي وزمر لي هما فرعان من نظرية الزمر عرفا تطورات وصارا موضوعين للدراسة في حد ذاتهما. تؤخذ زمر التماثل نموذجا عند دراسة العديد من الأنظمة الفيزيائية، البلورة وذرة الهيدروجين مثالتين على ذلك. لنظرية الزمر والعلم القريب منه نظرية التمثيل تطبيقات مهنة في الفيزياء والكيمياء وعلم المواد. نظرية الزمر مركزية عند دراسة التشفير باستخدام المفتاح العام. انتُهي من تصنيف الزمر المنتهية البسيطة سنة 1980، متطلبا الأمرُ عن ما يزيد على عشرة آلاف صفحة من البحث. (ar)
- En aquest article es desenvoluparà un enfocament tècnic de la teoria de grups, per una introducció planera vegeu: Introducció a la teoria de grups La teoria de grups dins la matemàtica estudia les propietats dels grups, i com classificar-los. Un grup matemàtic és un magma (un parell ), on G és un conjunt no buit i * una llei de composició interna, això és , que verifica: 1.
* (associativitat) 2.
* (element neutre) 3.
* (element invers) En altres paraules, un grup és un conjunt amb una operació binària associativa, tancada, que té element neutre i inversos. Un grup on es verifiqui per a qualsevol parell d'elements en s'anomena abelià o commutatiu. Exemples:
* és un grup abelià. ℝ és el conjunt dels nombres reals i + la suma usual.
* és grup abelià. (cal remarcar que el zero no té invers multiplicatiu, per això se l'exclou).
* és grup, on ℤ/nℤ és el conjunt de residus mòdul n. S'anomena ordre d'un grup G a la cardinalitat de G. Un grup es diu grup finit o si el conjunt és finit o . En l'exemple citat, els formats amb ℝ són infinits i el format amb ℤ/nℤ és finit. La classificació dels grups simples finits és un dels grans avenços matemàtics del segle xx. Els grups són els blocs per construir estructures algebraiques més elaborades tals com anells, cossos, espais vectorials, etc. i són recurrents a les matemàtiques. La teoria de grups té moltes aplicacions en química i física i és potencialment aplicable a qualsevol problema caracteritzat per la seva simetria. (ca)
- Teorie grup je matematická disciplína zabývající se studiem grup. Jde o podobor algebry. Má mnoho aplikací v celé matematice i v dalších oborech – fyzice, informatice či chemii. (cs)
- Στα μαθηματικά και την αφηρημένη άλγεβρα, η θεωρία ομάδων είναι το πεδίο που μελετά τις γνωστές ως ομάδες. Η έννοια της ομάδας είναι θεμελιώδης στην αφηρημένη άλγεβρα: Άλλες γνωστές αλγεβρικές δομές, όπως οι δακτύλιοι, τα σώματα, και οι διανυσματικοί χώροι, μπορούν να αντιμετωπιστούν σαν ομάδες που έχουν εφοδιαστεί με επιπρόσθετες πράξεις και αξιώματα. Οι ομάδες συναντώνται επανειλημμένα σε όλο το φάσμα των μαθηματικών, και οι μέθοδοι της θεωρίας ομάδων έχουν επηρεάσει πολλούς τομείς της άλγεβρας. Οι και οι είναι δύο κλάδοι της θεωρίας ομάδων οι οποίοι έχουν εξελιχθεί αρκετά ώστε να αποτελούν ερευνητικά πεδία από μόνοι τους. Μία ποικιλία φυσικών συστημάτων, όπως οι κρύσταλλοι και τα άτομα υδρογόνου, μπορούν να μοντελοποιηθούν από . Επομένως, η θεωρία ομάδων και η στενά σχετιζόμενη έχουν πολλές σημαντικές εφαρμογές στη φυσική, τη χημεία, και την επιστήμη υλικών. Η θεωρία ομάδων είναι επίσης θεμελιώδης στη θεωρία κρυπτογράφησης δημοσίου κλειδιού. Ένα από τα σημαντικότερα μαθηματικά επιτεύγματα του 20ού αιώνα, είναι η . Το θεώρημα αυτό αποτελεί συλλογικό έργο, και έχει μέγεθος περισσότερες από 10,000 δημοσιευμένες σελίδες, οι οποίες κατά κύριο λόγο δημοσιεύτηκαν ανάμεσα στο 1960 και το 1980. (el)
- Die Gruppentheorie als mathematische Disziplin untersucht die algebraische Struktur von Gruppen. Anschaulich besteht eine Gruppe aus den Symmetrien eines Objekts oder einer Konfiguration zusammen mit jener Verknüpfung, die durch das Hintereinanderausführen dieser Symmetrien gegeben ist. So bilden beispielsweise die Drehungen eines regelmäßigen -Ecks in der Ebene, mit denen die Figur auf sich selbst abgebildet werden kann, eine Gruppe mit Elementen. Um dieses Konzept allgemein zu fassen, hat sich eine knappe und mächtige Definition herausgebildet: Demnach ist eine Gruppe eine Menge zusammen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung (durch die jedem geordneten Paar von Elementen eindeutig ein Element dieser Menge als Resultat zugeordnet wird), wenn diese Verknüpfung assoziativ ist und es ein neutrales Element gibt sowie zu jedem Element ein Inverses. So bildet zum Beispiel auch die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition eine Gruppe. Die systematische Untersuchung von Gruppen begann im 19. Jahrhundert und wurde durch konkrete Probleme ausgelöst, zunächst durch die Frage nach der Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen, später durch die Untersuchung geometrischer Symmetrien. Dementsprechend stand zunächst die Untersuchung konkreter Gruppen im Vordergrund; erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurden verstärkt abstrakte Fragestellungen untersucht. Wichtige Beiträge stammen unter anderem von Évariste Galois und Niels Henrik Abel in der Algebra sowie Felix Klein und Sophus Lie in der Geometrie. Eine der herausragenden mathematischen Leistungen des 20. Jahrhunderts ist die Klassifikation aller endlichen einfachen Gruppen, also der unzerlegbaren Bausteine aller endlichen Gruppen. Die große Bedeutung der Gruppentheorie für viele Gebiete der Mathematik und ihrer Anwendungen resultiert aus ihrer Allgemeinheit, denn sie umfasst in einer einheitlichen Sprache sowohl geometrische Sachverhalte (Bewegungen des Raumes, Symmetrien etc.) als auch arithmetische Regeln (Rechnen mit Zahlen, Matrizen etc.). Vor allem in der Algebra ist der Begriff der Gruppe von grundlegender Bedeutung: Ringe, Körper, Moduln und Vektorräume sind Gruppen mit zusätzlichen Strukturen und Eigenschaften. Methoden und Sprechweise der Gruppentheorie durchziehen daher viele Gebiete der Mathematik. In Physik und Chemie treten Gruppen überall dort auf, wo Symmetrien eine Rolle spielen (z. B. Invarianz physikalischer Gesetze, Symmetrie von Molekülen und Kristallen). Zur Untersuchung solcher Phänomene liefern die Gruppentheorie und die eng verwandte Darstellungstheorie die theoretischen Grundlagen und eröffnen wichtige Anwendungen. (de)
- La grupo-teorio aŭ grupoteorio aŭ teorio de grupoj studas en ĝenerala formo operaciojn, kiuj estas plej ofte uzataj en matematiko kaj en ĝiaj branĉoj, ekz-e adicion de nombroj, adicion de vektoroj, sinsekvan plenumadon de transformoj ktp. Samtempe, teorio de grupoj studas ne arbitrajn operaciojn, sed nur tiajn, kiuj havas kelkajn bazajn ecojn, listigitajn en la difino de grupo. (eo)
- In abstract algebra, group theory studies the algebraic structures known as groups. The concept of a group is central to abstract algebra: other well-known algebraic structures, such as rings, fields, and vector spaces, can all be seen as groups endowed with additional operations and axioms. Groups recur throughout mathematics, and the methods of group theory have influenced many parts of algebra. Linear algebraic groups and Lie groups are two branches of group theory that have experienced advances and have become subject areas in their own right. Various physical systems, such as crystals and the hydrogen atom, and three of the four known fundamental forces in the universe, may be modelled by symmetry groups. Thus group theory and the closely related representation theory have many important applications in physics, chemistry, and materials science. Group theory is also central to public key cryptography. The early history of group theory dates from the 19th century. One of the most important mathematical achievements of the 20th century was the collaborative effort, taking up more than 10,000 journal pages and mostly published between 1960 and 2004, that culminated in a complete classification of finite simple groups. (en)
- Aljebra abstraktuan, talde-teoriak talde bezala ezagutzen den egitura aljebraikoa ikertzen du, hutsik ez dagoen multzo bat eta barne eragiketa bat dena. Bere helburuak, besteak beste, taldeak sailkatzea, euren propietateak eta aplikazioak matematikaren barruan zein kanpoan egitea dira. Taldeek, beste egitura aljebraiko landuago batzuen zutabe bezala balio dute, eraztunak, gorputzak edo bektore espazioak kasu. Talde-teoriak aplikazio asko ditu fisikaren eta kimikaren alorrean, eta simetria ezaugarri duten egoeretan aplika daiteke. Gainera, astrofisikan aplikatzen dira: quarkak, asmakizunen soluzioa: Rubiken kuboa, kode bitarretan eta kriptografian. Talde baten ordena bere kardinalitatea da; hura oinarri hartuta, ordena finituko edo ordena infinituko taldeetan sailka daitezke taldeak. Ordena finituko talde bakunen sailkapena XX. mendeko lorpen matematiko handienetako bat da. (eu)
- En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia la estructura algebraica conocida como grupo, que es un conjunto no vacío dotado de una operación interna. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, el estudio de sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas. El orden de un grupo es su cardinalidad; sobre la base de él, los grupos pueden clasificarse en grupos de orden finito o de orden infinito. La clasificación de los grupos simples de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX. (es)
- En mathématique, plus précisément en algèbre générale, la théorie des groupes est la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations. Ensemble, elles ont plusieurs applications en physique théorique, chimie, science des matériaux et cryptographie asymétrique. L'une des plus grandes avancées mathématiques du XXe siècle est la classification complète des groupes simples finis. Elle est le fruit d'une collaboration de plus de 100 auteurs à travers 500 articles. (fr)
- Dalam matematika dan aljabar abstrak, teori grup mempelajari struktur aljabar yang dikenal sebagai grup. Konsep grup sangat penting dalam aljabar abstrak: struktur aljabar terkenal lainnya, seperti gelanggang, medan, dan ruang vektor, semua dilihat sebagai grup yang diberkahi dengan tambahan operasi dan aksioma. Grup dalam matematika, dan metode teori grup mempengaruhi banyak bagian aljabar. dan grup Lie adalah dua cabang teori grup yang telah mengalami kemajuan dan menjadi bidang subjek dengan sendiri. Berbagai sistem fisik, seperti kristal dan atom bakhidrogen yang dimodelkan dengan . Jadi teori grup dan teori representasi yang terkait erat memiliki banyak aplikasi penting dalam fisika, kimia, dan ilmu material. Teori grup juga penting untuk kriptografi kunci publik. Sejarah teori grup awal berasal dari abad ke-19. Salah satu pencapaian matematika terpenting abad ke-20 adalah upaya kolaboratif, mengambil lebih dari 10.000 halaman jurnal dan sebagian besar diterbitkan antara 1960 dan 1980, yang memuncak dalam klasifikasi grup sederhana hingga kompleks. (in)
- La teoria dei gruppi è la branca della matematica che si occupa dello studio dei gruppi. In astratto, e in breve, un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da un'operazione binaria associativa, dotata di elemento neutro e per la quale ogni elemento della struttura possiede elemento inverso; un semplice esempio di gruppo è dato dall'insieme dei numeri interi, con l'operazione dell'addizione. Tipico esempio di gruppo è fornito dalle rotazioni di uno spazio vettoriale euclideo S, cioè dall'insieme costituito da tutte le rotazioni di S (trasformazioni che lasciano fissa l'origine di S, mantengono le distanze tra i punti di S e si possono ottenere con movimenti continui). Muniamo l'insieme delle rotazioni di S con l'operazione di composizione delle rotazioni; si osserva che componendo due di queste rotazioni si ottiene un'altra rotazione; inoltre la rotazione identità, cioè la trasformazione che lascia fisso ogni punto di S, svolge il ruolo di elemento neutro per la composizione delle rotazioni. Ovviamente ad ogni rotazione esiste la sua 'inversa' che per composizione ripristina la situazione iniziale. Le rotazioni di S e la loro composizione costituiscono quindi un gruppo detto gruppo delle rotazioni di S; lo denotiamo con GrpRot(S). Restringiamo poi l'insieme delle rotazioni di S a quelle che trasformano in se stessa una certa figura geometrica F, ad esempio un cubo, un prisma regolare o una piramide. È evidente che la composizione di due di queste rotazioni fornisce un'altra rotazione che lascia invariata la figura F. Con ciascuna di queste richieste di invarianza si individua un gruppo contenuto in GrpRot(S). Questi gruppi sono detti sottogruppi di GrpRot(S). Questi esempi possono servire a farsi una prima idea del fatto che la teoria dei gruppi è lo strumento matematico per lo studio delle simmetrie delle figure geometriche e di altri oggetti che si incontrano nella matematica, nella fisica e nelle altre discipline che si avvalgono di modelli matematici e di procedure computazionali. Una buona gamma di definizioni di termini utilizzati per sviluppare la teoria dei gruppi è raccolta nel glossario di teoria dei gruppi. (it)
- 군론(群論, 영어: group theory)은 군에 대해 연구하는 대수학의 한 분야이다. 수학의 여러 분야의 기초가 되며, 대칭성을 다루는 특성 탓에 물리학이나 화학 분야에서도 응용된다. (ko)
- 群論（ぐんろん、英語: group theory）とは、群を研究する学問。群の概念は抽象代数学における中心的な概念。 環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群と看做すことができる。 群論の方法は代数学の大部分に強い影響を与えている。 線形代数群とリー群の理論は群論の一分野。特に発展を遂げており、独自の適用範囲を持っている。 結晶や、水素原子などの構造の多くは、で表現できる。このように、群論は、物理学や化学の中に多くの実例・応用例がある。 1960年代～80年代に発表された総計1万ページを超える論文によって、完全な有限単純群の分類が達成された。これは多くの数学者の共同作業の賜物であり、20世紀後半の数学において最も重要な業績の一つである。 (ja)
- Groepentheorie is in de wiskunde de studie van groepen, ook te omschrijven als de studie van symmetrieën. Groepen worden in de wiskunde veel gebruikt om de symmetrie van een wiskundig object mee te beschrijven. De in een groep besloten symmetrie wordt bepaald door de eigenschappen die onder de toegestane transformaties niet veranderen. (nl)
- Teoria grup – dział algebry, uważany za dość autonomiczną dziedzinę matematyki (w szczególności teoria grup abelowych, tj. przemiennych), który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami, czyli zbiorów z wyróżnionym łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny. Zastosowania obejmują tak odległe dziedziny jak kryptografia czy genetyka, a nawet muzyka (przykładem może być konstrukcja gamy czy koło kwintowe) czy malarstwo (np. twórczość Mauritsa Cornelisa Eschera); jednak najczęściej jako przykłady zastosowań podaje się fizykę i chemię. W obu przypadkach wynika to z praktycznej interpretacji programu Kleina (zob. ), czyli, obrazowo rzecz ujmując, zachęty do wnioskowania o własnościach danego obiektu za pomocą przejawianych przez niego symetrii, przy czym traktowane są one jako przekształcenia geometryczne (a nie własności) obiektu, których zbiór z działaniami składania, odwracania i tożsamością tworzy grupę nazywaną grupą przekształceń (zob. działanie grupy na zbiorze). W ten sposób bada się m.in. symetrie atomów, cząsteczek, struktur krystalicznych itp., ale również bardziej abstrakcyjnych struktur jak czasoprzestrzeń czy pola fizyczne. Zasadniczo twierdzenie Noether mówi, że z każdym prawem zachowania związana jest pewna symetria układu fizycznego: niezmienniczość układu ze względu na określone operacje prowadzi do zachowania odpowiednich własności i odwrotnie, pojawianie się niezmiennych w czasie wielkości wskazuje na istnienie dodatkowych symetrii w danym układzie. Ponadto formalizm matematyczny mechaniki kwantowej opiera się na teorii reprezentacji grup; wśród innych dziedzin fizyki i chemii intensywnie wykorzystujących teorię grup można wymienić fizykę cząstek elementarnych, spektroskopię czy fizykę ciała stałego, w tym krystalografię. (pl)
- Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики. Различные физические системы, такие как кристаллы или атом водорода, обладают симметриями, которые можно смоделировать группами симметрии, таким образом находя важные применения теории групп и тесно связанной с ней теории представлений в физике и химии. Одним из наиболее значительных математических прорывов XX века стала полная классификация простых конечных групп — результат совместных усилий многих математиков, занимающий более 10 тыс. печатных страниц, основной массив которых опубликован с 1960 по 1980 годы. (ru)
- Em Matemática e em Álgebra Abstrata, a teoria dos grupos é o ramo que estuda as estruturas algébricas chamadas de grupos. De forma mais poética, O conceito de grupo é fundamental para a álgebra abstrata: outras bem conhecidas estruturas algébricas, como os anéis, corpos, e espaços vetoriais, podem todas ser vistas como grupos dotados de operações e axiomas adicionais. Grupos ocorrem em todas as partes da matemática, e os métodos da teoria dos grupos influenciaram fortemente vários ramos da álgebra. Os e os grupos de Lie são dois ramos da teoria dos grupos que experimentaram enormes avanços e por isso são estudados como sub-matérias de maior importância. Vários sistemas físicos, como os cristais e o átomo de hidrogênio, podem ser modelados por grupos de simetria. Assim, a teoria dos grupos e a intimamente relacionada teoria da representação têm várias aplicações em física e química. Uma das mais importantes realizações matemáticas do século XX foi o esforço colaborativo, que ocupou mais de 10.000 páginas de periódicos na maior parte publicados entre 1960 e 1980, e que culminou na completa classificação dos grupos simples finitos. Grupos são usados na Matemática e nas ciências em geral para capturar a simetria interna de uma estrutura na forma de automorfismos de grupo. Uma simetria interna está normalmente associada com alguma propriedade invariante, e o conjunto de transformações que preserva este invariante, juntamente com a operação de composição de transformações, forma um grupo chamado um grupo de simetria. A teoria de Galois, que é a origem histórica do conceito de grupo, procura descrever as simetrias das equações satisfeitas pelas soluções de uma equação polinomial. Os grupos solúveis são assim chamados devido ao papel proeminente que possuem nesta teoria. Grupos abelianos estão presentes em várias estruturas estudadas em álgebra abstrata, como anéis, corpos, e módulos. Na topologia algébrica, grupos são usados para descrever os invariantes de espaços topológicos. Eles são chamados de "invariantes" porque não mudam se o espaço é submetido a uma transformação. Exemplos incluem o grupo fundamental, grupo de homologias e o . O conceito de grupo de Lie (em homenagem ao matemático Sophus Lie) é importante no estudo de equações diferenciais em variedades; ele combina análise e teoria de grupos e é portanto a ferramenta certa para descrever as simetrias das estruturas analíticas. Análise neste e outros grupos é chamada de análise harmônica. Na análise combinatória, a noção de grupo de permutação e o conceito de ação de um grupo são frequentemente utilizados para simplificar a contagem de um conjunto de objetos. A compreensão da teoria de grupos é fundamental na Física, onde é utilizada para descrever as simetrias que as leis da Física devem obedecer. O interesse da Física na representação de grupos é grande, especialmente em grupos de Lie, pois suas representações podem apontar o caminho para "possíveis" teorias físicas. Em Química, grupos são utilizados para classificar estruturas cristalinas e a simetrias das moléculas. Exemplos na Física
* Modelo padrão
* Teoria de gauge , também chamadas de Teoria de calibre. Exemplos na Biologia Código genético Exemplos em jogos
* O jogo de 15
* O cubo mágico ou cubo de Rubik (pt)
- Gruppteori är inom abstrakt algebra, studiet av de algebraiska strukturer som kallas grupper. (sv)
- Теорія груп — розділ математики, який вивчає властивості груп. Група — це алгебраїчна структура з двомісною операцією, і для цієї операції виконуються такі властивості: асоціативність, існування нейтрального елемента, існування оберненого елемента. Поняття групи є узагальненням понять група симетрій, група перестановок. Часто група може являти собою множину всіх перетворень (симетрій) деякої структури, оскільки результатом послідовного застосування двох перетворень (композицією) буде знову деяке перетворення, також можливі обернені перетворення, нейтральним елементом вважається відсутність перетворень. Наприклад, в кубика Рубика множина всіх трансформацій (що можливі за рахунок повороту граней) є групою, оскільки дві послідовні трансформації утворюють нову трансформацію, для кожної трансформації існує обернена, нейтральний елемент — відсутність трансформацій. Особливу корисність абстрактне поняття групи отримує завдяки властивості гомоморфізму, тобто такому зв'язку між різними групами, при якому групова операція зберігається. Гомоморфні групи різноманітної природи мають однакові властивості, і вивчення однієї групи можна замінити вивченням іншої. Наприклад, група поворотів тривимірного тіла гомоморфна групі спеціальних ортогональних матриць 3x3, груповою операцією якої є множення матриць (див. Матриці повороту). Завдяки гомоморфізму теорія груп знайшла широке застосування в різноманітних галузях математики й фізики, оскільки дозволяє виділити спільні риси в об'єктах дуже різноманітної природи. (uk)
- 在数学和抽象代数中，群论（英語：Group theory）研究名为群的代数结构。 群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和向量空间等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。和李群作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。 群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。 群论中的重要结果，有限单群分类是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果，它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Teorie grup je matematická disciplína zabývající se studiem grup. Jde o podobor algebry. Má mnoho aplikací v celé matematice i v dalších oborech – fyzice, informatice či chemii. (cs)
- La grupo-teorio aŭ grupoteorio aŭ teorio de grupoj studas en ĝenerala formo operaciojn, kiuj estas plej ofte uzataj en matematiko kaj en ĝiaj branĉoj, ekz-e adicion de nombroj, adicion de vektoroj, sinsekvan plenumadon de transformoj ktp. Samtempe, teorio de grupoj studas ne arbitrajn operaciojn, sed nur tiajn, kiuj havas kelkajn bazajn ecojn, listigitajn en la difino de grupo. (eo)
- En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia la estructura algebraica conocida como grupo, que es un conjunto no vacío dotado de una operación interna. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, el estudio de sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas. El orden de un grupo es su cardinalidad; sobre la base de él, los grupos pueden clasificarse en grupos de orden finito o de orden infinito. La clasificación de los grupos simples de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX. (es)
- 군론(群論, 영어: group theory)은 군에 대해 연구하는 대수학의 한 분야이다. 수학의 여러 분야의 기초가 되며, 대칭성을 다루는 특성 탓에 물리학이나 화학 분야에서도 응용된다. (ko)
- 群論（ぐんろん、英語: group theory）とは、群を研究する学問。群の概念は抽象代数学における中心的な概念。 環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群と看做すことができる。 群論の方法は代数学の大部分に強い影響を与えている。 線形代数群とリー群の理論は群論の一分野。特に発展を遂げており、独自の適用範囲を持っている。 結晶や、水素原子などの構造の多くは、で表現できる。このように、群論は、物理学や化学の中に多くの実例・応用例がある。 1960年代～80年代に発表された総計1万ページを超える論文によって、完全な有限単純群の分類が達成された。これは多くの数学者の共同作業の賜物であり、20世紀後半の数学において最も重要な業績の一つである。 (ja)
- Groepentheorie is in de wiskunde de studie van groepen, ook te omschrijven als de studie van symmetrieën. Groepen worden in de wiskunde veel gebruikt om de symmetrie van een wiskundig object mee te beschrijven. De in een groep besloten symmetrie wordt bepaald door de eigenschappen die onder de toegestane transformaties niet veranderen. (nl)
- Gruppteori är inom abstrakt algebra, studiet av de algebraiska strukturer som kallas grupper. (sv)
- 在数学和抽象代数中，群论（英語：Group theory）研究名为群的代数结构。 群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和向量空间等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。和李群作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。 群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。 群论中的重要结果，有限单群分类是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果，它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。 (zh)
- من أجل التطرق إلى نظرية المجموعات في العلوم الاجتماعية، انظر إلى مجموعة اجتماعية. في الرياضيات والجبر التجريدي، نظرية الزُمَر (بالإنجليزية: Group Theory) هي فرع من الرياضيات يهتم بدراسة بُنى جبرية معروفة باسم الزمر وخواصها.مفهوم الزمرة مركزي بالنسبة إلى الجبر التجريدي إضافة إلى بُنى جبرية أخرى كالحلقة والحقل والفضاء المتجهي. الحلقات والحقول والفضاءات المتجهية كلهن زمر مزودةً بعمليات وموضوعات إضافية. انتُهي من تصنيف الزمر المنتهية البسيطة سنة 1980، متطلبا الأمرُ عن ما يزيد على عشرة آلاف صفحة من البحث. (ar)
- En aquest article es desenvoluparà un enfocament tècnic de la teoria de grups, per una introducció planera vegeu: Introducció a la teoria de grups La teoria de grups dins la matemàtica estudia les propietats dels grups, i com classificar-los. Un grup matemàtic és un magma (un parell ), on G és un conjunt no buit i * una llei de composició interna, això és , que verifica: 1.
* (associativitat) 2.
* (element neutre) 3.
* (element invers) En altres paraules, un grup és un conjunt amb una operació binària associativa, tancada, que té element neutre i inversos. Exemples: (ca)
- Die Gruppentheorie als mathematische Disziplin untersucht die algebraische Struktur von Gruppen. Anschaulich besteht eine Gruppe aus den Symmetrien eines Objekts oder einer Konfiguration zusammen mit jener Verknüpfung, die durch das Hintereinanderausführen dieser Symmetrien gegeben ist. So bilden beispielsweise die Drehungen eines regelmäßigen -Ecks in der Ebene, mit denen die Figur auf sich selbst abgebildet werden kann, eine Gruppe mit Elementen. Um dieses Konzept allgemein zu fassen, hat sich eine knappe und mächtige Definition herausgebildet: Demnach ist eine Gruppe eine Menge zusammen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung (durch die jedem geordneten Paar von Elementen eindeutig ein Element dieser Menge als Resultat zugeordnet wird), wenn diese Verknüpfung assoziativ ist und es (de)
- Στα μαθηματικά και την αφηρημένη άλγεβρα, η θεωρία ομάδων είναι το πεδίο που μελετά τις γνωστές ως ομάδες. Η έννοια της ομάδας είναι θεμελιώδης στην αφηρημένη άλγεβρα: Άλλες γνωστές αλγεβρικές δομές, όπως οι δακτύλιοι, τα σώματα, και οι διανυσματικοί χώροι, μπορούν να αντιμετωπιστούν σαν ομάδες που έχουν εφοδιαστεί με επιπρόσθετες πράξεις και αξιώματα. Οι ομάδες συναντώνται επανειλημμένα σε όλο το φάσμα των μαθηματικών, και οι μέθοδοι της θεωρίας ομάδων έχουν επηρεάσει πολλούς τομείς της άλγεβρας. Οι και οι είναι δύο κλάδοι της θεωρίας ομάδων οι οποίοι έχουν εξελιχθεί αρκετά ώστε να αποτελούν ερευνητικά πεδία από μόνοι τους. (el)
- In abstract algebra, group theory studies the algebraic structures known as groups. The concept of a group is central to abstract algebra: other well-known algebraic structures, such as rings, fields, and vector spaces, can all be seen as groups endowed with additional operations and axioms. Groups recur throughout mathematics, and the methods of group theory have influenced many parts of algebra. Linear algebraic groups and Lie groups are two branches of group theory that have experienced advances and have become subject areas in their own right. (en)
- Aljebra abstraktuan, talde-teoriak talde bezala ezagutzen den egitura aljebraikoa ikertzen du, hutsik ez dagoen multzo bat eta barne eragiketa bat dena. Bere helburuak, besteak beste, taldeak sailkatzea, euren propietateak eta aplikazioak matematikaren barruan zein kanpoan egitea dira. Talde baten ordena bere kardinalitatea da; hura oinarri hartuta, ordena finituko edo ordena infinituko taldeetan sailka daitezke taldeak. Ordena finituko talde bakunen sailkapena XX. mendeko lorpen matematiko handienetako bat da. (eu)
- Dalam matematika dan aljabar abstrak, teori grup mempelajari struktur aljabar yang dikenal sebagai grup. Konsep grup sangat penting dalam aljabar abstrak: struktur aljabar terkenal lainnya, seperti gelanggang, medan, dan ruang vektor, semua dilihat sebagai grup yang diberkahi dengan tambahan operasi dan aksioma. Grup dalam matematika, dan metode teori grup mempengaruhi banyak bagian aljabar. dan grup Lie adalah dua cabang teori grup yang telah mengalami kemajuan dan menjadi bidang subjek dengan sendiri. (in)
- La teoria dei gruppi è la branca della matematica che si occupa dello studio dei gruppi. In astratto, e in breve, un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da un'operazione binaria associativa, dotata di elemento neutro e per la quale ogni elemento della struttura possiede elemento inverso; un semplice esempio di gruppo è dato dall'insieme dei numeri interi, con l'operazione dell'addizione. Una buona gamma di definizioni di termini utilizzati per sviluppare la teoria dei gruppi è raccolta nel glossario di teoria dei gruppi. (it)
- En mathématique, plus précisément en algèbre générale, la théorie des groupes est la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations. Ensemble, elles ont plusieurs applications en physique théorique, chimie, science des matériaux et cryptographie asymétrique. (fr)
- Teoria grup – dział algebry, uważany za dość autonomiczną dziedzinę matematyki (w szczególności teoria grup abelowych, tj. przemiennych), który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami, czyli zbiorów z wyróżnionym łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny. (pl)
- Em Matemática e em Álgebra Abstrata, a teoria dos grupos é o ramo que estuda as estruturas algébricas chamadas de grupos. De forma mais poética, O conceito de grupo é fundamental para a álgebra abstrata: outras bem conhecidas estruturas algébricas, como os anéis, corpos, e espaços vetoriais, podem todas ser vistas como grupos dotados de operações e axiomas adicionais. Grupos ocorrem em todas as partes da matemática, e os métodos da teoria dos grupos influenciaram fortemente vários ramos da álgebra. Os e os grupos de Lie são dois ramos da teoria dos grupos que experimentaram enormes avanços e por isso são estudados como sub-matérias de maior importância. (pt)
- Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями мат (ru)
- Теорія груп — розділ математики, який вивчає властивості груп. Група — це алгебраїчна структура з двомісною операцією, і для цієї операції виконуються такі властивості: асоціативність, існування нейтрального елемента, існування оберненого елемента. Поняття групи є узагальненням понять група симетрій, група перестановок. Наприклад, в кубика Рубика множина всіх трансформацій (що можливі за рахунок повороту граней) є групою, оскільки дві послідовні трансформації утворюють нову трансформацію, для кожної трансформації існує обернена, нейтральний елемент — відсутність трансформацій. (uk)
|
