I. In einer früheren Arbeit (Fundam. Math., Warszawa, 26 (1936), 1-43; JFM 62.0287.*) haben die Verf. zwei Sätze über das Verhalten der Cesàroschen Mittel einer trigonometrischen Reihe \[ \frac 12a_0+\sum_{\nu=1}^\infty (a_\nu\cos \nu\theta + b_\nu\sin \nu\theta) \tag{1} \] und ihrer konjugierten Reihe \[ \sum_{\nu=1}^\infty (a_\nu \sin \nu\theta-b_\nu\cos\nu \theta) \tag{2} \] bewiesen. Bezeichnet man die Cesàroschen Mittel \(\alpha\)-ter Ordnung von (1) mit \(\sigma_n^\alpha(\theta)\), die von (2) mit \(\tilde \sigma_n^\alpha(\theta)\), so besagen dieselben:
(Ia). Ist (1) in den Punkten einer Menge \(E\) von positivem Maß Abel-summierbar und gilt für ein \(\alpha>-1\) \[ \varliminf_{n\to \infty}\sigma_n^\alpha(\theta) >-\infty \;\text{für} \;\theta \in E, \tag{3} \] so gelten an fast allen Stellen \(\theta\) aus \(E\) die Beziehungen \[ \begin{gathered} \varlimsup_{n\to \infty}\sigma_n^\alpha(\theta)<+\infty, \tag{4} \\ -\infty<\varliminf_{n\to \infty}\tilde \sigma_n^\alpha(\theta)\leqq \varlimsup_{n\to \infty} \tilde \sigma_n^\alpha(\theta)< + \infty, \tag{5} \\ \varlimsup_{n\to \infty}\tilde \sigma_n^\alpha(\theta)\varliminf_{n\to \infty} \tilde\sigma_n^\alpha(\theta) =\varlimsup_{n\to \infty}\sigma_n^\alpha(\theta)\varliminf_{n\to\infty}\sigma_n^\alpha(\theta). \tag{6} \end{gathered} \] Überdies sind die beiden Reihen (1) und (2) in \(E\) fast überall \((C,\alpha+\varepsilon)\)-summierbar (\(\varepsilon>0\)) zu Werten \(s(\theta)\) bzw. \(\tilde s(\theta)\) (von denen der erste mit der \(A\)-Summe von (1) übereinstimmt) und es gilt fast überall in \(E\) \[ s(\theta)=\frac 12[\varliminf_{n\to \infty}\sigma_n^\alpha(\theta) +\varlimsup_{n\to \infty}\sigma_n^\alpha(\theta)], \quad \tilde s(\theta)=\frac 12[\varliminf_{n\to \infty}\tilde \sigma_n^\alpha(\theta)+\varlimsup_{n\to \infty} \tilde \sigma_n^\alpha(\theta)]. \tag{7} \]
(Ib). Die Cesàroschen Mittel \(\alpha\)-ter Ordnung (\(\alpha>-1\)) von (1) seien auf einer Punktmenge \(E\) von positivem Maß beschränkt. Dann sind die Reihen (1) und (2) in E fast überall \((C,\alpha+\varepsilon)\)-summierbar (\(\varepsilon > 0\)), und es gelten die Beziehungen (5), (6) und. (7).
Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit geben die Verf. neue Beweise dieser beiden Sätze. Sie weisen gegenüber den früheren Beweisen verschiedene Vereinfachungen auf, insbesondere wird die Theorie der höheren verallgemeinerten Ableitungen nicht mehr herangezogen.
II. Daran anschließend wird im zweiten Teil der Arbeit das Verhalten der Cesàroschen Mittel einer Potenzreihe auf ihrem Konvergenzkreis untersucht. Zugrunde gelegt sei die Potenzreihe \[ F(z)=\sum_{\nu=0}^\infty c_\nu z^\nu \;\text{in} \;|z|<1, \] so daß die zu untersuchende Reihe die Form \[ \sum_{\nu=0}^\infty c_\nu e^{i\nu\theta} \tag{8} \] hat. Die Cesàroschen Mittel \(\alpha\)-ter Ordnung dieser Reihe seien mit \(\tau_n^\alpha(\theta)\) bezeichnet, ferner bedeute \(L^\alpha(\theta)\) die Menge der Häufungspunkte der Folge \(\{\tau_n^\alpha(\theta)\}\). Dann lassen sich die Resultate der Verf. folgendermaßen aussprechen:
(IIa). Die Reihe (8) sei in den Punkten \(e^{i\theta}\) einer Menge \(E\) des Einheitskreises \((C,\alpha+1)\)-summierbar (\(\alpha>-1\)) zur Summe \(t(\theta)\). Dann weist \(L^\alpha(\theta)\) in fast allen Punkten \(e^{i\theta}\) von \(E\) “Kreisstruktur” mit dem Zentrum \(t(\theta)\) auf (was besagt, daß mit jedem zu \(L^\alpha(\theta)\) gehörigen Punkt \(\zeta\) der ganze Kreis um das Zentrum \(t(\theta)\) durch den Punkt \(\zeta\) der Menge \(L^\alpha(\theta)\) angehört). – Insbesondere besitzt \(L^\alpha(\theta)\) für fast alle Punkte \(e^{i\theta}\) von \(E\) Kreisstruktur, wenn die Folge \(\{\tau_n^\alpha(\theta)\}\) in jedem Punkt \(e^{i\theta}\) von \(E\) beschränkt ist.
(IIb). Sind die Voraussetzungen des Satzes (IIa) für ein \(\alpha\geqq 0\) erfüllt, und strebt \(c_n\to 0\), so besteht fast überall in \(E\) die Menge \(L^\alpha(\theta)\) aus dem Kreisring um \(t(\theta)\) mit den Radien \(\varliminf\limits_ {n\to\infty} |\tau_n^\alpha(\theta)-t(\theta)|\) und \(\varlimsup \limits_{n\to \infty}|\tau_n^\alpha(\theta)-t(\theta)|\).
III. Weiter wird der Beweis eines von den Verf. schon früher (a. a. 0.) mit Beweisskizze veröffentlichten Satzes über die starke Summierbarkeit der trigonometrischen Reihen ausgeführt: Ist eine trigonometrische Reihe (1) in jedem Punkt einer Menge \(E\) stark summierbar mit dem Index \(q\geqq 1\), so ist die konjugierte Reihe (2) fast überall in \(E\) stark summierbar mit dem Index \(q\).
IV. Endlich wird angegeben, wie sich die unter I und II bewiesenen Sätze auf Dirichletsche Reihen, allgemeiner auf Stieltjes-Integrale der Form \[ \int\limits_0^\infty e^{-\lambda s}\,dC(\lambda) \] (\(s=u+iv\), \(C(\lambda)=A(\lambda)-iB(\lambda)\) in jedem endlichen Intervall schwankungsbeschränkt) bzw. auf die aus ihnen für \(s=-iv\) durch Zerlegung in Real- und Imaginärteil hervorgehenden Integrale \[ \int\limits_0^\infty [\cos \lambda v\,dA(\lambda)+\sin \lambda v\,dB(\lambda)] \quad \text{und} \quad \int\limits_0^\infty [-\cos \lambda v\, dB(\lambda)+ \sin \lambda v\, dA(\lambda)] \] übertragen.