On the differentiability of functions and summability of trigonometrical series. (English) JFM 62.0287.01
Die Arbeit behandelt fünf getrennte Probleme, jedoch ist der erste Satz grundlegend für alle weiteren.
(1) \(f(x)\) sei eine in \((a, b)\) meßbare Funktion. Es werde \[ \varDelta _k(x, h; f)=\textstyle\sum\limits_{j=0}^{k} \displaystyle(-1)^{k-j} \binom{k}{j}\,f\,\biggl(x+jh-\frac{kh}{2}\biggr)\quad(h>0, k=1, 2,\dots ) \] gesetzt. Der \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{1}{h^k}\varDelta _k(x, h; f)\) heißt, wenn er existiert, die \(k\)-te Riemannsche Ableitung \(D_kf(x)\) von \(f\).
Existiert für kleine \(t\) eine Entwicklung \[ f(x+t)=a_0+a_1t+a_2\frac{t^2}{2!}+\dots +a_k\frac{t^k}{k!}+o\,(t^k), \] so heißt \(c_k=a_k(x)\) die \(k\)-te de-la-Vallée-Poussinsche Ableitung \(f_{(k)}(x)\). Aus der Existenz von \(f_{(k)}(x)\) folgt die von \(D_kf(x)\).
Verf. beweisen den folgenden Satz in umgekehrter Richtung: Wenn in einer Menge \(E\) von positivem Maße \[ \varlimsup_{h\to0}\biggl|\,\frac{1}{h^k}\varDelta _k(x, h; f)\,\biggr|<\infty \] bleibt, so existiert \(f_{(k)}(x)\) fast überall in \(E\). Außerdem ist dann \(f_{(j)}(x)\) fast überall in \(E\) die approximative Ableitung von \(f_{(j+1)}(x)\), \(0\leqq j\leqq k-1\) (für \(k = 1\) vgl. Khintchine, Fundam. Math., Warszawa, 9 (1927), 212-279; F. d. M. 53, 229 (JFM 53.0229.*); für \(k=2\) vgl. Denjoy, C, R. Acad. Sci., Paris, 172 (1921), 1218-1221; F. d. M. 48, 302 (JFM 48.0302.*)).
(2) Es sei \(k > - 1\). \(S^{(k)}(x)\) bzw. \(s^{(k)}(x)\) bezeichne den \(\varlimsup\) bzw. den \(\varliminf\) der \((C, k)\)-Mittel einer trigonometrischen Reihe \(T(x)\), \(\overline{S}^{(k)}(x)\) bzw. \(\overline{s}^{(k)}(x)\) haben die analoge Bedeutung für die konjugierte Reihe \(\overline{T}(x)\). Dann gilt der folgende Satz:
Wenn \(T(x)\) in einer Menge \(E\) von positivem Maße Abel-summierbar ist zum Werte \(s(x)\) und wenn dort \(S^{(k)}(x)<\infty \) bleibt (für ein passendes \(k > - 1\)), so ist \(\overline{T}(x)\) fast überall in \(E\) Abel-summierbar \(\bigl(\)zu \(\overline{s}(x)\)\(\bigr)\), die \((C, k)\)-Mittel von \(\overline{T}(x)\) und \(T(x)\) bleiben, fast überall in \(E\) endlich und genügen den Relationen \[ \begin{gathered} s(x)=\tfrac{1}{2}\bigl\{S^{(k)}(x)+s^{(k)}(x)\bigr\},\;\;\overline{s}(x)=\tfrac{1}{2}\bigl\{\overline{S}^{(k)}(x)+ \overline{s}^{(k)}(x)\bigr\},\\ S^{(k)}(x)-s^{(k)}(x)=\overline{S}^{(k)}(x)-\overline{s}^{(k)}(x). \end{gathered} \] Hieraus folgt dann weiter:
Wenn die \((C, k)\)-Mittel von \(T(x)\) in einer Menge \(E\) von positivem Maße endlich bleiben, so sind \(T(x)\) und \(\overline{T}(x)\) für jedes \(\varepsilon > 0\) fast überall in \(E\) \((C, k+ \varepsilon )\)-summierbar, und es gelten die obigen Relationen.
(3) Es sei \(k\geqq 0\), und \(T(x)\) sei in einer Menge \(E\) von positivem Maße \((C, k)\)-summierbar zur Summe \(s(x)\). Dann ist fast überall in \(E\) die formal integrierte Reihe \((C, k - 1)\)-summierbar zum Werte \(S(x)\), wo \(s(x)\) die approximative Ableitung von \(S(x)\) ist. Für \(- 1 < k < 0\) ist \(S(x)\) stetig, und fast überall in \(E\) gilt \(S'(x) = s(x)\). Dieser Satz verallgemeinert ein Theorem von Lusin (Das Integral und die trigonometrische Reihe (Russisch), 1916; F. d. M. 48, 1368-1369).
(4) \(F(x)\) sei in \(\langle 0, 2\pi \rangle\) \(L\)-integrierbar, \(\varPhi (x)=\int\limits_{0}^{x}f(t)\,dt\) und \(\overline{\varPhi }(x)\) die konjugierte Funktion zu \(\varPhi (x)\). Es wird bewiesen:
Wenn \(F_{(k)}(x)\) in einer Menge \(E\) von positivem Maße existiert, so existiert \(\overline{\varPhi }_{(k+1)}(x)\) fast überall in \(E\) (vgl. Titchmarsh, Proc. London math. Soc. 29 (1928), 49-80; F. d. M. 54, 307 (JFM 54.0307.*)).
(5) \(f(x)\) sei in \((a, b)\) meßbar. Setzt man \[ J(h, x; f)=\int\limits_{0}^{h}\frac{f(x+u)-f(x)}{u}\,du \] und existiert \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{1}{h}J(h, x; f)\), so heißt dieser Grenzwert die Borelsche Ableitung \(Bf(x)\).
Es wird bewiesen:
Wenn in einer Menge \(E\) von positivem Maße \[ \int\limits_{0}^{h}\frac{f(x+u)-f(x-u)}{2u}\,du=O(|\,h\,|)\;\text{für}\;h\to 0 \] ist, so existiert \(Bf(x)\) fast überall in \(E\). (vgl. Sargent, Proc. London math. Soc. 38 (1934), 180-196; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 214). Der Rest der Arbeit behandelt das Problem, eine solche Definition des Integrals zu geben, daß jede konvergente trigonometrische Reihe bei Zugrundelegung dieses Integrals die Fourierreihe ihrer Summe wird. Es wird hier (mit Hilfe der integrierten Reihe und Majoranten wie Minoranten) eine Lösung angegeben, die von der früher von Denjoy (J. Math. pur. appl. (7) 1 (1915), 105-240; C. R. Acad. Sci., Paris, 196 (1933), 237-239; F. d. M. 45, 435 (JFM 45.0435.*); \(59_{\text{II}}\), 1011) gegebenen verschieden ist.
(1) \(f(x)\) sei eine in \((a, b)\) meßbare Funktion. Es werde \[ \varDelta _k(x, h; f)=\textstyle\sum\limits_{j=0}^{k} \displaystyle(-1)^{k-j} \binom{k}{j}\,f\,\biggl(x+jh-\frac{kh}{2}\biggr)\quad(h>0, k=1, 2,\dots ) \] gesetzt. Der \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{1}{h^k}\varDelta _k(x, h; f)\) heißt, wenn er existiert, die \(k\)-te Riemannsche Ableitung \(D_kf(x)\) von \(f\).
Existiert für kleine \(t\) eine Entwicklung \[ f(x+t)=a_0+a_1t+a_2\frac{t^2}{2!}+\dots +a_k\frac{t^k}{k!}+o\,(t^k), \] so heißt \(c_k=a_k(x)\) die \(k\)-te de-la-Vallée-Poussinsche Ableitung \(f_{(k)}(x)\). Aus der Existenz von \(f_{(k)}(x)\) folgt die von \(D_kf(x)\).
Verf. beweisen den folgenden Satz in umgekehrter Richtung: Wenn in einer Menge \(E\) von positivem Maße \[ \varlimsup_{h\to0}\biggl|\,\frac{1}{h^k}\varDelta _k(x, h; f)\,\biggr|<\infty \] bleibt, so existiert \(f_{(k)}(x)\) fast überall in \(E\). Außerdem ist dann \(f_{(j)}(x)\) fast überall in \(E\) die approximative Ableitung von \(f_{(j+1)}(x)\), \(0\leqq j\leqq k-1\) (für \(k = 1\) vgl. Khintchine, Fundam. Math., Warszawa, 9 (1927), 212-279; F. d. M. 53, 229 (JFM 53.0229.*); für \(k=2\) vgl. Denjoy, C, R. Acad. Sci., Paris, 172 (1921), 1218-1221; F. d. M. 48, 302 (JFM 48.0302.*)).
(2) Es sei \(k > - 1\). \(S^{(k)}(x)\) bzw. \(s^{(k)}(x)\) bezeichne den \(\varlimsup\) bzw. den \(\varliminf\) der \((C, k)\)-Mittel einer trigonometrischen Reihe \(T(x)\), \(\overline{S}^{(k)}(x)\) bzw. \(\overline{s}^{(k)}(x)\) haben die analoge Bedeutung für die konjugierte Reihe \(\overline{T}(x)\). Dann gilt der folgende Satz:
Wenn \(T(x)\) in einer Menge \(E\) von positivem Maße Abel-summierbar ist zum Werte \(s(x)\) und wenn dort \(S^{(k)}(x)<\infty \) bleibt (für ein passendes \(k > - 1\)), so ist \(\overline{T}(x)\) fast überall in \(E\) Abel-summierbar \(\bigl(\)zu \(\overline{s}(x)\)\(\bigr)\), die \((C, k)\)-Mittel von \(\overline{T}(x)\) und \(T(x)\) bleiben, fast überall in \(E\) endlich und genügen den Relationen \[ \begin{gathered} s(x)=\tfrac{1}{2}\bigl\{S^{(k)}(x)+s^{(k)}(x)\bigr\},\;\;\overline{s}(x)=\tfrac{1}{2}\bigl\{\overline{S}^{(k)}(x)+ \overline{s}^{(k)}(x)\bigr\},\\ S^{(k)}(x)-s^{(k)}(x)=\overline{S}^{(k)}(x)-\overline{s}^{(k)}(x). \end{gathered} \] Hieraus folgt dann weiter:
Wenn die \((C, k)\)-Mittel von \(T(x)\) in einer Menge \(E\) von positivem Maße endlich bleiben, so sind \(T(x)\) und \(\overline{T}(x)\) für jedes \(\varepsilon > 0\) fast überall in \(E\) \((C, k+ \varepsilon )\)-summierbar, und es gelten die obigen Relationen.
(3) Es sei \(k\geqq 0\), und \(T(x)\) sei in einer Menge \(E\) von positivem Maße \((C, k)\)-summierbar zur Summe \(s(x)\). Dann ist fast überall in \(E\) die formal integrierte Reihe \((C, k - 1)\)-summierbar zum Werte \(S(x)\), wo \(s(x)\) die approximative Ableitung von \(S(x)\) ist. Für \(- 1 < k < 0\) ist \(S(x)\) stetig, und fast überall in \(E\) gilt \(S'(x) = s(x)\). Dieser Satz verallgemeinert ein Theorem von Lusin (Das Integral und die trigonometrische Reihe (Russisch), 1916; F. d. M. 48, 1368-1369).
(4) \(F(x)\) sei in \(\langle 0, 2\pi \rangle\) \(L\)-integrierbar, \(\varPhi (x)=\int\limits_{0}^{x}f(t)\,dt\) und \(\overline{\varPhi }(x)\) die konjugierte Funktion zu \(\varPhi (x)\). Es wird bewiesen:
Wenn \(F_{(k)}(x)\) in einer Menge \(E\) von positivem Maße existiert, so existiert \(\overline{\varPhi }_{(k+1)}(x)\) fast überall in \(E\) (vgl. Titchmarsh, Proc. London math. Soc. 29 (1928), 49-80; F. d. M. 54, 307 (JFM 54.0307.*)).
(5) \(f(x)\) sei in \((a, b)\) meßbar. Setzt man \[ J(h, x; f)=\int\limits_{0}^{h}\frac{f(x+u)-f(x)}{u}\,du \] und existiert \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{1}{h}J(h, x; f)\), so heißt dieser Grenzwert die Borelsche Ableitung \(Bf(x)\).
Es wird bewiesen:
Wenn in einer Menge \(E\) von positivem Maße \[ \int\limits_{0}^{h}\frac{f(x+u)-f(x-u)}{2u}\,du=O(|\,h\,|)\;\text{für}\;h\to 0 \] ist, so existiert \(Bf(x)\) fast überall in \(E\). (vgl. Sargent, Proc. London math. Soc. 38 (1934), 180-196; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 214). Der Rest der Arbeit behandelt das Problem, eine solche Definition des Integrals zu geben, daß jede konvergente trigonometrische Reihe bei Zugrundelegung dieses Integrals die Fourierreihe ihrer Summe wird. Es wird hier (mit Hilfe der integrierten Reihe und Majoranten wie Minoranten) eine Lösung angegeben, die von der früher von Denjoy (J. Math. pur. appl. (7) 1 (1915), 105-240; C. R. Acad. Sci., Paris, 196 (1933), 237-239; F. d. M. 45, 435 (JFM 45.0435.*); \(59_{\text{II}}\), 1011) gegebenen verschieden ist.
Reviewer: Rogosinski, W., Prof. (Berlin)
