Seit dem Jahre 1927 ist in ununterbrochener Folge eine Serie von Arbeiten von Differentialgeometern, die alle der Hamburger Schule angehören oder ihr nahe stehen, veröffentlicht worden. Diese Arbeiten haben in Fortsetzung der Hamburger Traditionen zur Erschließung eines weiteren, festumgrenzten Gebietes der Differentialgeometrie, der Geometrie der Gewebe, geführt. Nach der Durchforschung der affinen und konformen Invarianten wurde nun, da die projektiven Invarianten bereits von der italienischen Schule bearbeitet waren, die Frage nach den topologischen Invarianten aufgeworfen, die sich besonders bei der Untersuchung von Geweben aus Kurven und Flächen darbot. In diesem engeren Sinne, der natürlich bei weitem nicht alle topologischen Fragestellungen der Differentialgeometrie umfaßt, ist der gemeinsame Obertitel der Arbeiten und der Untertitel des vorliegenden Buches “Topologische Fragen der Differentialgeometrie” zu verstehen. Die älteren rein differentialgeometrischen Untersuchungen über Kurvennetze, mit denen wohl ein Zusammenhang bestehen mag, die aber von einem ganz anderen Gesichtspunkt aus entwickelt wurden, spielen dabei kaum eine Rolle. Diesen so umrissenen speziellen Fragenkomplex, der inzwischen zu einem gewissen Abschluß gediehen war, zusammenfassend darzustellen und allgemeiner zugänglich zu machen, ist die Aufgabe des vorliegenden Buches. Es kann als Abschluß des bekannten mehrbändigen differentialgeometrischen Werkes des ersten der beiden Verf. angesehen werden, obgleich es unabhängig von den übrigen Banden angelegt ist. Auch der stilistische Charakter rechtfertigt diese Auffassung. Die flüssige und anschauliche Schreibweise und die verhältnismäßig geringen Voraussetzungen an Kenntnissen ermöglichen auch einem Studenten mittleren Semesters das Studium des Buches.
Inhalt: Der erste Abschnitt bringt alle die Untersuchungen, die ohne Differenzierbarkeitsannahmen auskommen: Sechseckgewebe, geradlinige Sechseckgewebe, Gewebe und Gruppen, Achtflachgewebe, Vierseitgewebe, ebene 4-Gewebe, Satz von Mayrhofer und Reidemeister, ebene \(n\)-Gewebe, Vierseit-\(n\)-Gewebe, geradlinige Vierseitgewebe.
Der zweite Abschnitt behandelt die Invariantentheorie der Gewebe: Differentiatoren und Pfaffsche Formen, ebene 3-Gewebe und ihre Invarianten, geradlinige Gewebe, Flächengewebe, Vollständigkeitssätze, Kurven-3-Gewebe im Raum.
Im dritten Abschnitt werden die Zusammenhänge mit der algebraischen Geometrie dargestellt: Abels Theorem und der Satz von Graf und Sauer, eine Umkehrung des Abelschen Theorems, ein Satz von Kneser, Ebenengewebe, Höchstzahlen für Kurven- und Flächengewebe, quasigeodätische Kurvensysteme, ebene 5-Gewebe höchsten Ranges, Flächengewebe höchsten Ranges, ein Satz von Enriques, räumliche Kurvengewebe, 3-Gewebe höchsten Ranges.
So wie man es von dem oben erwähnten Lehrbuch der Differentialgeometrie des ersten der beiden Verf. her gewohnt ist, folgt jedem Paragraphen anhangsweise eine Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen. Am Schluß des Buches bringt ein kurzer Abriß die wichtigsten der erforderlichen Sätze aus der Topologie, der Gruppentheorie, der reellen Analysis, der Theorie der Systeme partieller Differentialgleichungen und der algebraischen Geometrie.