In einer früheren Note [J. Lond. Math. Soc. 3, 205–212 (1928; JFM 54.0225.01)] hat Verf. u. a. für den bekannten Satz, daß für eine konvergente Reihe \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\) mit nicht negativen Gliedern und positivem Summenwert \(s\) und für eine beliebige reelle Zahl \(t\) aus (0, 1) die Beziehung \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{ a_1^t + a_2^t + \cdots + a_n^t}{n} \right)^{\frac{1}{t}} < K(t)\cdot s \tag{1} \] mit der bestmöglichen Konstanten \[ K(t)=(1-t)^{-\frac{1}{t}} \] gilt, einen sehr einfachen, auf Reihenvergleichung beruhenden Beweis und eine Ausdehnung auf den Fall \(t < 0\) gegeben. Dieser Satz läßt nach zwei Richtungen hin Verallgemeinerungen zu:
I. Es sei \(\varphi (x)\) eine beliebige reelle, stetige, im engeren Sinne monotone Funktion und \(\varPhi(x)\) ihre Umkehrungsfunktion. Es ergibt sich dann die Frage nach der Gültigkeit der folgenden Sätze:
(A) Unter den für \(\sum a_n\) gemachten Voraussetzungen ist \[ \sum_{n=1}^{\infty}\varPhi\left( \frac{ \varphi(a_1) + \varphi(a_2) + \cdots + \varphi(a_n)}{n} \right) \tag{2} \] konvergent.
(B) Es läßt sich eine nur von \(\varphi\) abhängige Konstante \(K(\varphi)\) so angeben, daß der Summenwert von (2) die Zahl \(K(\varphi)\cdot s\) nicht übertrifft.
(C) Die untere Grenze \(K_*(\varphi)\) der in (B) zulässigen Konstanten \(K(\varphi)\) ist \[ K_* (\varphi)= \lim_{m\to\infty} \frac{1}{\log m} \sum_{n=1}^{m}\varPhi\left( \frac{ \varphi(1) + \varphi\left(\dfrac{1}{2}\right) + \cdots + \varphi\left(\dfrac{1}{n}\right)}{n} \right). \]
Auf Grund des Satzes (1) und auf Grund eines weiteren, in der oben zitierten Note bewiesenen Satzes sind die Sätze (A), (B), (C) für die Funktionen \[ \varphi(x) = x^t \quad \text{mit}\quad 0 < t < 1, \quad \varphi(x) = x^{-t} \quad \text{mit}\quad t >0,\quad \varphi(x)= \log x \] richtig.
In der ersten der hier vorliegenden Arbeiten gelingt es Verf., die Klassen derjenigen Funktionen, für die einer der Sätze (A), (B), (C) gilt, bedeutend zu erweitern. Zur Formulierung der Ergebnisse müssen folgende Bezeichnungen eingeführt werden: Es sei \({\mathfrak M}\) die Klasse der für \(x > 0\) stetigen, im engeren Sinne monotonen Funktionen. Unter einer zu einer Funktion \(\varphi(x)\) von \({\mathfrak M}\) gehörigen “normierten” Funktion \(\varphi_1(x)\) versteht Verf. eine (offenbar auch in \({\mathfrak M}\) enthaltene) Funktion der Form \(\varphi_1(x) = c\varphi(x)+c'\), in der \(c\neq 0\) und \(c'\) so gewählt sind, daß \(\varphi_1(x)\) monoton wächst und \(\displaystyle \lim\limits_{x\to+0} \varphi_1(x)=0\) oder \(-\infty\) ist. Es gilt der Satz: Für zwei Funktionen \(\varphi\) und \(\psi\) aus \({\mathfrak M}\) und ihre Inversen \(\varPhi,\Psi\) ist die Ungleichung \[ \Psi\left( \frac{\psi(x)+\psi(y)}{2} \right) \leqq \varPhi\left( \frac{\varphi(x)+\varphi(y)}{2} \right) \] dann und nur dann für je zwei Werte \(x, y\) eines abgeschlossenen Intervalls \(\langle a, b\rangle\) mit \(0\leqq a < b\) erfüllt, wenn \(\psi_1(\varPhi(x))\) in \(\langle\varphi(a),\varphi(b)\rangle\) von oben konvex ist. Von \(\varphi\) und \(\psi\) wird gesagt, \(\psi\) sei in \(\langle a, b\rangle\) tiefer als \(\varphi\), wenn \(\psi_1(\varPhi(x))\) in \(\langle\varphi(a),\varphi(b) \rangle\) von oben konvex oder \(\varphi_1(\Psi(x))\) in \(\langle\psi(a),\psi(b)\rangle\) von unten konvex ist.
Die von Verf. erzielten Ergebnisse sind nun von folgender Art:
Gilt Satz (A) für eine Funktion \(\varphi(x)\) der Klasse \({\mathfrak M}\), so gilt er auch für jede Funktion \(\psi\) aus \({\mathfrak M}\), die in einem Intervall \(\langle 0,\delta\rangle\) mit \(\delta > 0\) tiefer als \(\varphi\) ist, speziell also für jede Funktion \(\psi\) aus \({\mathfrak M}\), die auf einem \(\langle 0,\delta\rangle\) mit \(\delta > 0\) tiefer ist als ein \(x^t\) mit \(0 < t < 1\).
Für den Satz (B) ergibt sich eine analoge Aussage; nur ist \(\langle 0,\delta\rangle\) durch \(\langle 0,+\infty\rangle\) zu ersetzen und \(K(\psi)= K(\varphi)\) zu nehmen. Auch in Richtung des Satzes (C) ergeben sich Aussagen. Zum Schluß wird die Übertragung der Fragestellung auf die Konvergenz uneigentlicher Integrale kurz besprochen.
II. In der Reihe (1) ist das Argument der Funktion \(x^{\frac{1}{t}}\) das Höldersche Mittel der Folge \(a_1^t,a_2^t, \ldots\). G. H. Hardy, J. E. Littlewood und G. Pólya [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 25, 265–282 (1926; JFM 52.0206.03)] haben in der Reihe (1) die Höldersche Mittelbildung durch die Cesàrosche ersetzt. In der Richtung dieser Verallgemeinerung verlaufen die Untersuchungen der zweiten hier vorliegenden Arbeit des Verf. Es wird also eine Reihe der Form \[ \sum_{n=1}^{\infty} \varPhi(\gamma_{n1}\varphi(a_1) + \gamma_{n2}\varphi(a_2) + \cdots + \gamma_{nn}\varphi(a_n)) \tag{3} \] betrachtet, wobei die \(\gamma_{n\nu}\) nicht negative, den Toeplitzschen Bedingungen \[ \gamma_{n\nu}\to 0\;(\nu \;\text{fest}) \quad \text{und} \quad \gamma_{n1} + \gamma_{n2} +\cdots +\gamma_{nn}\to 1 \] genügende Zahlen sind. Verf. behandelt hier unter Übertragung der elementaren Methode aus seiner eingangs zitierten Arbeit die Fälle, daß die \(\gamma_{n\nu}\) den Cesàroschen und den Eulerschen Mitteln entsprechen, indem er sich für \(\varphi(x)\) im wesentlichen auf die Funktionen \(x^t\) und \(\log x\) beschränkt. Zum Schluß wird ein analoger Satz für den Fall der Borelschen Mittelbildung bewiesen und die Übertragung der Sätze auf Integrale berührt.