Es handelt sich um die Form \[ S(x,y)=\sum_{r,s=1}^n a_{r-s}x_ry_s \] mit \[ x_r\ge 0,\qquad y_s\ge 0 \]
\[ a_0\ge a_1\ge\cdots\ge 0,\qquad a_{\nu}=a_{-\nu} \] in der die Koeffizienten gegeben sind und bis auf die Reihenfolge auch die beiden Veränderlichenreihen. Es wird gezeigt, daß \(S\) ihr Maximum annimmt, wenn die beiden Veränderlichenreihen so geordnet werden, daß sie von den Enden zur Mitte monoton wachsen und daß die Differenzen \(x_{n-\varrho}-x_{\varrho}\) \(\left(\varrho<\dfrac n2\right)\), \(y_{n-\sigma}-y_{\sigma}\) \(\left(\sigma<\dfrac n2\right)\) alle einerlei Vorzeichen haben.
Dann wird die spezielle Form \[ U(x,y)=\sum_{r=1}^n\sum_{s=1}^n{}' \frac{x_ry_s}{|r-s|^{\lambda}}\qquad (\lambda<1) \] betrachtet, in der bei der Summation die Werte \(r=s\) auszuschließen sind; \(U(x,y)+\sum\limits_{\nu=1}^n x_{\nu}y_{\nu}\) fällt unter den oben betrachteten allgemeinen Typ. Es wird bewiesen: Für \[ p>1, \;q>1, \;\frac1p+\frac1q>1, \;\lambda=2-\frac1p-\frac1q \] gilt \[ U\leqq C_{p,q}\left(\sum x_r^p\right)^{\frac 1p} \left(\sum y_s^q\right)^{\frac 1q}, \] wo \(C_{p,q}\) nur von \(p\) und \(q\) abhängt. Daraus folgt zunächst unmittelbar ein Konvergenzsatz, der in einer gewissen Parallele zu einem Hilbertschen Satze steht (s. z. B. F. Wiener [Math. Ann. 68, 361–366 (1910; JFM 41.0391.04)]). Aus ihm wird gefolgert: Ist für \(p<1\), \(x_r\geqq 0\) \(\sum x_r^p\) konvergent, und bedeutet mit \(0 < k <\dfrac1p X_r^k\) die \(k\)-te Cesàrosche Summe der \(x_r\), so ist \[ \sum(X_r^k)^{\frac{p}{1-kp}} \] gleichfalls konvergent.
Es folgen noch gewisse Verallgemeinerungen, die von der Reihe \[ \sum\sum{}'\frac{x_ry_s}{(r+s)^{\alpha}(r-s)^{\lambda-\alpha}}, \qquad 0<\alpha\leqq\lambda \] ausgehen. (IV 2.)