In den letzten dreißig Jahren hat eine Gruppe von Sätzen sehr erhebliches Interesse auf sich gezogen, von denen A. Tauber [Monatsh. Math. Phys. 8, 273–277 (1897; JFM 28.0221.02)] einen ersten aufgestellt hat. Er lieferte eine Umkehrung des Abelschen Grenzwertsatzes. Dieser letztere ist in neuerer Auffassung lediglich der Permanenzsatz eines speziellen Limitierungs (bzw. Summierungs-) Verfahrens: Ist \(\sum a_n\) mit den Teilsummen \(s_n\) vorgelegt, so schreibt man \(A\)-\(\sum a_n = s\), bzw. \(A\)-\(\lim s_n= s\), wenn \(\lim \sum a_nx^n\) oder \(\lim (1 - x) \sum s_nx^n\) für \(x\to 1 - 0\) existiert. Er besagt dann: Aus \(\lim s_n = s\) folgt stets \(A\)-\(\lim s_n = s\).
Der Taubersche Satz besagt nun umgekehrt: Aus \(A\)-\(\lim s_n = s\) folgt \(\lim s_n= s\), falls \(a_n =\text{o}(n^{-1})\). Es ist also, da man das Summierungsverfahren auch als lineare Mittelbildung auffassen kann, ein “Mittelungsumkehrsatz”.
Nach dem Muster dieses Satzes sind nun die andern Summierungsverfahren (linearen Mittelbildungen) umgekehrt worden. Allgemeiner: Es sind Sätze aufgestellt worden, die aus dem infinitären Verhalten der transformierten Folge unter geeigneten Zusatzbedingungen über die \(a_n\) auf das Verhalten der Folge \(s_n\) zurückschließen (Tauberian Theorems, Mittelungsumkehrsätze).
Die meisten dieser Sätze stammen von Hardy und Littlewood her [J. E. Littlewood, Proc. Lond. Math. Soc. 9, 434–448 (1911; JFM 42.0276.01); G. H. Hardy, Proc. Lond. Math. Soc. (2) 13, 192–198 (1914; JFM 45.0398.01)]. Sie beziehen sich auf die durch \(\sum a_nx^n\), \(x\to1- 0\), bzw. \(\sum a_ne^{-\lambda_{n^s}}\), \(s\to +0\), bewirkte Summierung von \(\sum a_n\). Ihre große Bedeutung liegt darin, daß u. a. viele tiefgelegene Sätze der analytischen Zahlentheorie, z. B. der Primzahlsatz oder äquivalente Sätze, geradezu als Spezialfälle solcher Mittelungsumkehrsätze aufgefaßt werden können. Die Beweise dieser Sätze haben ihren Entdeckern erhebliche Schwierigkeiten gemacht. Zahlreiche Arbeiten streben Verallgemeinerungen der Sätze oder Vereinfachungen der oft sehr verwickelten Beweise an. Eine grundsätzliche Neugestaltung des Beweisverfahrens selbst ist indessen niemals versucht worden.
Eine solche Neugestaltung bietet in umfassender Weise die vorliegende, ungewöhnlich schöne Arbeit, die den ganzen Problemenkreis systematisch in Angriff nimmt und in einheitlicher Weise alle bisher bekannten, auf die Abelsche Summation bezüglichen Sätze und einige Verallgemeinerungen derselben herleitet.
In einem Referat das Wesentliche der neuen Methode darzulegen, ist so gut wie unmöglich, da eine Fülle neuer Gedanken entwickelt und in kunstvoller (aber niemals künstlicher, sondern sich stets organisch aus dem Wesen der Sache ergebender) Weise miteinander verknüpft werden.
Nur ein paar Punkte können – im Anschluß an die ausführliche Einleitung der Arbeit – hervorgehoben werden. Den Zugang zu den Mittelungsumkehrsätzen sucht Verf. dadurch zu gewinnen, daß er im Anschluß an die bekannte Note von O. Toeplitz über lineare Mittelbildungen [Prace mat.-fiz. 22, 113–119 (1911; JFM 44.0281.02)] die folgende Fragestellung aufwirft: “Es ist ein Bereich von Folgen (\(s_1\), \(s_2\), \(\ldots\)) vorgelegt, die ein gewisses regelmäßiges infinitäres Verhalten haben. Welches sind die allgemeinsten linearen Mittelbildungen, die jede Folge des Bereiches in eine Folge mit einem vorgeschriebenen regelmäßigen infinitären Verhalten überführen?” Mit der vollständigen Antwort auf diese Frage sind die Hauptschwierigkeiten der Mittelungsumkehrsätze überwunden.
Dabei liegt es im Wesen der Sache, daß zur Behandlung von Umkehrsätzen, die zu verschiedenen Limitierungsverfahren gehören, im allgemeinen auch ganz verschiedene Bereiche zugrunde gelegt werden.
Im Abschnitt I werden “gestrahlte” Folgen \((s_n)\) betrachtet. Ist \((\sigma_n)\) eine positive monoton wachsende Folge, für die \(\sigma_q/\sigma_p\) gegen einen endlichen positiven Grenzwert strebt, falls \(q\) mit \(p\) so ins Unendliche wächst, daß \(q/p\) einen endlichen positiven Grenzwert hat, so soll \((\sigma_n)\) eine Vergleichsfolge heißen. Eine Folge \((s_n)\) heißt dann gestrahlt, falls die \(s_n \geqq 0\) sind und \(s_n/\sigma_n\to1\) strebt. (Die “Gestrahltheit” fixiert im wesentlichen die innere Eigenschaft, die an den Folgen der Form \(n^\sigma \log^{\varrho_1} n \log_2 ^{\varrho_2} n\ldots\) zu interessieren pflegt).
“Den gestrahlten Folgen treten die gestrahlten Mittelbildungen gegenüber. Das wesentliche Kennzeichen dieser Mittelbildungen besteht darin, daß die Zeilensummen, erstreckt bis zu einem “Strahl” \(u\), mit wachsendem Zeilenindex gegen einen bestimmten Grenzwert streben: Wenn \((a_{pq})\) (\(p\), \(q = 1\), 2, \(\ldots\)) das Koeffizientenschema der Mittelbildung ist, so soll \(\lim\limits_{p\to\infty} \sum\limits_{q=1}^{up} a_{pq}\) vorhanden sein für jedes \(u > 0\), oder wenigstens für solche Werte \(u\), die im Positiven dicht liegen. – Einer gestrahlten Matrix kommt eindeutig eine monoton wachsende “Belegungsfunktion” \(\chi(u)\) zu, die an ihren Stetigkeitsstellen \(u\) den Grenzwert der Zeilensummen bis zu den Strahlen \(u\) darstellt. Eine gestrahlte Matrix führt jede gestrahlte Folge \(s_1\), \(s_2\), \(\ldots\) in eine gestrahlte Folge \(t_1\), \(t_2\), \(\ldots\) über \(\Bigl(t_p = \sum\limits_q a_{pq}s_q\Bigr)\); die \(s_p\) sind mit den \(t_q\) asymptotisch verknüpft durch die Beziehung \[ \frac{t_p}{s_p}\to \int_0^\infty u^\sigma\,d\chi(u)=\mu(\sigma), \] wo \(\sigma\) eine Konstante ist, die aus der Folge \(s_1\), \(s_2\), \(\ldots\) abgeleitet wird (“Exponent” der gestrahlten Folge). Das Integral ist im Stieltjes’schen Sinne zu verstehen und hat die Form eines Momentenintegrals. Die Funktion \(\mu(\sigma)\), die nur von der Matrix \((a_{pq})\) abhängt, heißt die Momentfunktion. Damit ist der Anschluß an die Stieltjes’sche Theorie erreicht.
Darauf, daß die Werte \(u\), für die der obige Grenzwert der Zeilensummen bei einer gestrahlten Matrix vorhanden ist, nur überall dicht zu liegen brauchen, gründet sich die Anwendbarkeit des Hilbertschen Auswahlverfahrens: Aus einer beliebigen Matrix \((a_{pq})\) mit nichtnegativen Koeffizienten und beschränkten Zeilensummen läßt sich eine Zeilenfolge so auswählen, daß \((a_{pq})\) hinsichtlich dieser Zeilen die Eigenschaften einer gestrahlten Matrix hat. Das führt zur Bildung des Begriffs der “Momentmatrizen”. Zu einer Momentmatrix gehört zwar nicht mehr eindeutig eine Belegungsfunktion, wohl aber eine Momentfunktion \(\mu(\sigma)\), und wenn \(s_1\), \(s_2\), \(\ldots\) eine gestrahlte Folge ist, so strebt immer noch \(t_p/s_p\to\mu(\sigma)\). Die Momentmittelbildungen erweisen sich als die allgemeinsten linearen Mittelbildungen mit nichtnegativen Koeffizienten und beschränkten Zeilensummen, welche jede gestrahlte Folge \(s_p\) in eine solche gestrahlte Folge \(t_p\) überführen, daß \(t_p / s_p\) gegen einen endlichen positiven Grenzwert strebt. Bei passender Modifikation der Definition der Momentmatrizen gilt dasselbe Resultat, wenn von den gestrahlten Folgen nur solche mit vorgeschriebenen Exponenten \(\sigma\) zugelassen werden, etwa nur mit \(\sigma= 0\), 1, 2, \(\ldots\).” Je nachdem in diesem Falle das zu \(\mu(0)\), \(\mu(1)\), \(\ldots\) gehörige Stieltjes’sche Momentenproblem ein bestimmtes ist oder nicht, gehört zu der Matrix eindeutig eine Beleglingsfunktion oder nicht. Im ersteren Falle ist die in Rede stehende Momentmatrix eine gestrahlte Matrix.
Diese Entwicklungen des I. Abschnitts genügen bereits, um den bekannten Satz von Hardy-Littlewood über Potenzreihen mit positiven Koeffizienten in verschärfter Form zu beweisen.
“Der II. Abschnitt handelt von den “sehr langsam oszillierenden”, “langsam oszillierenden” und “langsam abfallenden” Folgen. Diese treten an die Stelle derjenigen Folgen, die bisher durch sogenannte \(o\)- und \(O\)-Bedingungen gekennzeichnet wurden. Sie geben Anlaß zur Definition der normal gestrahlten Matrizen. Kombination dieser Folgen mit den gestrahlten Folgen erlaubt schließlich die Aufstellung eines “Tauberian Theorems” für Potenzreihen (Theorem XI), das an Einfachheit und Allgemeinheit nichts zu wünschen übrig läßt.”
Die Schmiegsamkeit und Tragweite der entwickelten Methoden erweist sich weiter an den bei der folgenden Arbeit besprochenen Ergebnissen.