Im Anschluß an eine Arbeit von Heun über denselben Gegenstand (Zeitschr. f. Math. 45; F. d. M. 31, 333, 1900, JFM 31.0333.02) gibt der Verf. eine Näherungsmethode, die vor der Heunschen den Vorteil hat, eine größere Auswahl von Zahlenkoeffizienten zu gewähren, und die so in den Stand setzt, Näherungen von bestimmter Ordnung bei Berechnung von möglichst wenig Funktionswerten und rationalen Koeffizienten aufzustellen. Für die Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = f(x,y)\) wird folgender Ansatz aufgestellt: \begin{align*} \varDelta' &= f(x,y) \varDelta x,\\ \varDelta'' &= f(x + \kappa \varDelta x, y+ \kappa \varDelta') \varDelta x,\\ \varDelta''' &=f( x+ \lambda \varDelta x, y+ \varrho \varDelta'' + (\lambda - \varrho) \varDelta') \varDelta x,\\ \varDelta'''' &= f(x+ \mu \varDelta x, y+ \sigma \varDelta''' + \tau \varDelta'' (\mu - \sigma -\tau) \varDelta') \varDelta x,\\ &\cdots \end{align*} und die gewünschte Annäherung erhält man in \(\varDelta y= a\varDelta' + b\varDelta'' + c\varDelta''' + d\varDelta'''' + \cdots\).
Dabei sind die Größen \(\kappa, \lambda, \mu, \dots\); \(\varrho, \sigma, \tau, \dots\); \(a,b,c,d, \dots\) beliebig verfügbare Zahlenkoeffizienten, die so zu bestimmen sind, daßbei der Entwicklung von \(\varDelta y\) nach dem Taylorschen Satze eine Übereinstimmung mit der wahren bis gewünschten Ordnung erzielt wird. Die Rechnung wird für die Näherungen bis zur sechsten Ordnung durchgeführt. Während bei den Näherungen bis zur vierten Ordnung einschließlich die Anzahl der zu berechnenden Funktionswerte mit der Ordnungszahl der Näherung übereinstimmt, tritt bei der fünften Ordnung zum erstenmal der Fall ein, daßdie Anzahl der bei 5 Funktionswerten zu befriedigenden Bedingungsgleichungen größer ist als die Anzahl der verfügbaren Zahlenkoeffizienten, so daßin diesen Falle nur unter einer gewissen Beschränkung die gewünschte Näherung gegeben wird.
Zum Schlußwerden an der Gleichung \(\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}\), ausgehend von \(x=0\), \(y=0\), die Resultate der Näherungen bis zur vierten Ordnung in drei verschiedenen Endwertwen nach den Methoden von Euler, Runge, Heun und Kutta mit den aus dem Integral gefundenen wahren Werten verglichen.