Die hier entwickelte Methode zur approximativen Integration der Differentialgleichungen beruht auf einer Erweiterung des der Gauss’schen Quadraturmethode zu Grunde liegenden Gedankens. Das Problem wird in folgender Weise gestellt: Man sucht ein Grössensystem \[ \alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_n;\quad \varepsilon_1,\,\varepsilon_2,\,\dots,\,\varepsilon_n;\quad \varepsilon_1',\,\varepsilon_2',\,\dots,\,\varepsilon_n';\quad \varepsilon_1'',\,\varepsilon_2'',\,\dots,\,\varepsilon_n'';\quad\text{etc.} \] so zu bestimmen, dass der Ausdruck \[ \varDelta y = \sum_{\nu=1}^{\nu=n} \alpha_\nu f(x + \varepsilon_\nu\varDelta x,y + \varDelta_y')\varDelta x, \] wo \[ \begin{aligned} \varDelta_\nu' &= \varepsilon_\nu f(x + \varepsilon_\nu'\varDelta x,y + \varDelta_\nu''y)\varDelta x,\\ \varDelta_\nu'' &= \varepsilon_\nu' f(x + \varepsilon_\nu''\varDelta x,y + \varDelta_\nu'''y)\varDelta x,\\ .\quad&.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\\ \varDelta_\nu^{(m)} &= \varepsilon_\nu^{(m-1)}f(x,y)\varDelta x\end{aligned} \] bedeutet, die Fortsetzung der durch die Differentialgleichung \[ dy/dx = f(x,y) \] definirten Function \(y\) für das Intervall \(\varDelta x\) mit der grössten auf diesem Wege erreichbaren Approximation darstellt. Für \(m=1\) (Appr. zweiter Ordnung) erhält man \(\sum\alpha=1\), \(\sum\alpha\varepsilon=\frac12\), woraus, wenn man \(n=1\) nimmt, die Approximationsformel \(\varDelta y = f(x + \frac12\varDelta x,y + \frac12f\cdot\varDelta x)\) sich ergiebt. Für \(m=2\), welcher Fall am meisten für die Anwendungen in Betracht kommt, wird \[ \sum\alpha = 1,\quad \sum\alpha\varepsilon = \frac12,\quad \sum\alpha\varepsilon^2 = \frac13,\quad \sum\alpha\varepsilon\varepsilon' = \frac16. \] Nimmt man hier \(n=3\), so hat man neun unbekannte Grössen; durch Hinzufügung der willkürlichen Bestimmungen \(\varepsilon_1=0\), \(\varepsilon_2=\frac12\), \(\varepsilon_3=1\), \(\varepsilon_1'=0\), \(\varepsilon_2'=0\) gelangt man zu der von Runge gefundenen Formel \[ \begin{aligned} \varDelta y &= \frac16\{f(x,y) + 4f(x + \frac12\varDelta x,y + \frac12f\varDelta x) + f(x + \varDelta x, \varDelta_y')\}\varDelta x,\\ \varDelta_y' &= f(x + \varDelta x,y + f\cdot\varDelta x)\varDelta x.\end{aligned} \] Ein analoges Verfahren wird auf die Integration der Simultansysteme von Differentialgleichungen erster Ordnung und auf die der Differentialgleichungen höherer Ordnung angewandt.