Funkcija (matematika)

Funkcija ili preslikavanje je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja preslikavanje članova jednog skupa (domena) u drugi (kodomena).^[1] Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se preslikava u točno jedan član kodomene.

Funkcija ili preslikavanje je uređena trojka ${\displaystyle (D,K,f)}$ koja sadrži skupove ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle K}$ i neko pravilo ${\displaystyle f\colon D\to K}$ po kojem se svakom članu ${\displaystyle x\in D}$ pridružuje jedinstveni član ${\displaystyle y\in K}$ tako da je ${\displaystyle y=f(x)}$.

Skup ${\displaystyle D}$ se naziva područje definicije ili domena funkcije ${\displaystyle f}$, a skup ${\displaystyle K}$ područje vrijednosti ili kodomena funkcije ${\displaystyle f}$. Član domene ${\displaystyle x}$ je nezavisna varijabla ili argument funkcije ${\displaystyle f}$, a član kodomene ${\displaystyle y}$ je zavisna varijabla funkcije ${\displaystyle f}$.

Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo ${\displaystyle f\colon D\to K}$. Želimo li istaknuti pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo ${\displaystyle x\mapsto y=f(x)}$.

Funkcije ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ su jednake, što zapisujemo sa ${\displaystyle f=g}$, ako vrijedi:

1. imaju jednake domene, tj. ${\displaystyle D_{f}=D_{g}}$;
2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj. ${\displaystyle f(x)=g(x),\forall x\in A}$.

Na primjer, funkcije ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}}{x}}}$ i ${\displaystyle g(x)=x}$ nisu jednake. One imaju jednako pravilo pridruživanja, jer, kada se kod ${\displaystyle f(x)}$ skrati razlomak, dobijemo ${\displaystyle f(x)=x}$.
Međutim, nemaju jednaku domenu, jer funkcija ${\displaystyle f(x)}$ nema vrijednost za ${\displaystyle x=0}$. Dijeljenje s nulom nije definirano, pa je domena ${\displaystyle D_{f}=\mathbb {R} \backslash \left\{0\right\}}$, skup realnih brojeva bez nule. Domena ${\displaystyle D_{g}=\mathbb {R} }$, čitav skup realnih brojeva.

Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost i bijektivnost.

Injekcija ili 1-1 preslikavanje je funkcija takva da ne postoje dva različita člana domene koja se preslikavaju u isti član kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna.
Matematički zapisujemo, ${\displaystyle f(x)=f(x')\Rightarrow x=x',\forall x\in D_{f},\forall x'\in D_{f}}$
ili ekvivalentnu tvrdnju ${\displaystyle \forall x,x'\in D{\mbox{ takve da }}x\neq x',f(x)\neq f(x')}$.

Slika funkcije f je skup članova iz kodomene na koje se preslikava neki član domene. Sliku funkcije f označavamo s ${\displaystyle R_{f}}$.

Surjekcija ili preslikavanje na je funkcija čija slika je jednaka cijeloj kodomeni ${\displaystyle R_{f}=K}$.
Drugim riječima, za svaki član kodomene postoje jedan ili više članova iz domene koji se u njega preslikavaju tj. ima bar jednu prasliku.
Matematički zapis: ${\displaystyle \forall y\in K\;\exists x\in D,f(x)=y}$. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da je surjektivna.

Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje je funkcija koja je injektivna i surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.

Primjer bijekcije je funkcija identiteta, odnosno funkcija ${\displaystyle i_{X}:X\to X}$ definirana s ${\displaystyle i_{X}(x)=x,\forall x\in X}$.

• involutivnost: kažemo da je funkcija (operacija) involucija (lat. obavijanje) ako je ${\displaystyle f(f(x))=x}$ za svaki ${\displaystyle x}$ iz njezine domene.^[2] Primjeri takvih funkcija, odnosno operacija, uključuju logičku negaciju (jer je ${\displaystyle \neg (\neg P)=P}$), tako i negaciju realnih brojeva (${\displaystyle -(-x)=x}$), komplementiranje u teoriji skupova (npr. ${\displaystyle ({\mathcal {U}}^{c})^{c}=\emptyset ^{c}={\mathcal {U}}}$), centralnu simetriju u euklidskoj geometriji i sl.

Graf funkcije ${\displaystyle f}$ jest skup točaka ${\displaystyle (x,y)}$ ravnine ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ za koje vrijedi ${\displaystyle y=f(x)}$ te čine krivulju. Formalnije, to je skup ${\displaystyle G(f)\subseteq \mathbb {R} ^{2},G(f)={\big \{}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x\in D_{f},y=f(x){\big \}}}$.

• Funkcija identiteta
• Konstantna funkcija
• Nulfunkcija
• Linearna funkcija
• Kvadratna funkcija
• Kubna funkcija
• Polinomna funkcija
• Eksponencijalna funkcija
• Trigonometrijske funkcije