Faktorialo

En la matematiko, faktorialo de natura nombro n estas la produto de la pozitivaj entjeroj malpli aŭ egalaj al n. Oni signas ĝin per n!, kion oni prononcas no faktoriale laŭ Christian Kramp.

${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}$

${\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!}$

${\displaystyle 0!=1!=1\,}$

Oni aldone difinas ${\displaystyle 0!=1}$, ĉar ĝenerale la produto de neniuj faktoroj estas konsiderata 1.

En kombinatoriko, faktorialo n! estas kvanto de permutaĵoj de n eroj. Ekzemple:

Por 1 ero {A} estas 1!=1 permuto:

A

Por 2 eroj {A,B} estas 2!=2 permutaĵoj:

AB   BA

Por 3 eroj {A,B,C} estas 3!=6 permutaĵoj:

ABC   ACB   BAC   BCA   CAB   CBA

Por 4 eroj {A,B,C,D} estas 4!=24 permutaĵoj:

ABCD   BACD   CABD   DABC

ABDC   BADC   CADB   DACB

ACBD   BCAD   CBAD   DBAC

ACDB   BCDA   CBDA   DBCA

ADBC   BDAC   CDAB   DCAB

ADCB   BDCA   CDBA   DCBA

Γ-funkcio estas funkcio, difinita por ĉiuj reelaj aŭ kompleksaj argumentoj krom nepozitivaj entjeroj (0, -1, -2, -3, ...). Ĝi estas vastigaĵo de faktorialo. Se n estas nenegativa entjero (0, 1, 2, 3, ...), do

Γ(n+1) = n!

Aŭ ekvivalente se n estas pozitiva entjero (1, 2, 3, 4, ...), do

Γ(n) = (n-1)!

Proksimuma kalkulado de Stirling estas proksimuma formulo por faktoriala:

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}+O\left(n^{-4}\right)\right),}$

kie la nombro e estas la bazo de la eksponenta funkcio kaj O estas granda O.

Pli simpla, malpli preciza sed iam uzebla estas formulo kun nur la unua membro de la proksimuma kalkulado de Stirling

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

Tiam estas limigoj por la faktorialo.

${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}}$

Tia proksimumo permesas ankaŭ trovi proksimumon pri la logaritmo de n! :

${\displaystyle \ln \left(n!\right)\simeq n\ln \left(n\right)-n\ \,.}$

Duopa faktorialo estas:

${\displaystyle n!!={\begin{cases}1,&{\mbox{ se }}n=0{\mbox{ aŭ }}n=1;\\n\times (n-2)!!&{\mbox{ se }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{cases}}}$

Tiel:

n!!=n(n-2)(n-4)·...·6·4·2 se n estas para pozitiva;

n!!=n(n-2)(n-4)·...·5·3·1 se n estas nepara pozitiva;

Notu, ke duopa faktorialo ne estas faktorialo de faktorialo, ĝenerale n!!≠(n!)!.

La difino povas esti etendita reen al la negativaj argumentoj ĉar

${\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}}$

Tiel:

n!!=1/( (n+2)(n+4)·...·(-3)·(-1)·1 ) se n estas nepara negativa.

Per ĉi tia maniero duopa faktorialo ne estas difinita por para negativa argumento, tamen vidu sube pri ebleco difini per Γ funkcio.

Ekzemple, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384, 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Valoroj de n!! por n=0, 1, 2, ... estas:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Valoroj de n!! por n=-1, -3, -5, ... estas:

${\displaystyle 1,-1,{\tfrac {1}{3}},-{\tfrac {1}{15}},\dots }$

Iuj formuloj kun duopa faktorialo:

${\displaystyle n!=n!!(n-1)!!}$

${\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!}$

${\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}$

${\displaystyle (2n-1)!!={(2n-1)! \over (2n-2)!!}={(2n)! \over 2^{n}n!}}$

${\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{(2n-1)!! \over 2^{n}}}$

${\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{n!! \over 2^{(n+1)/2}}}$

kie Γ estas Γ funkcio. La lasta formulo povas esti konsiderata kiel difino de duopa faktorialo por ĉiuj kompleksaj n≠0.

Plurfaktorialo estas plua ĝeneraligo post la duopa faktorialo. Plurfaktorialo de la k-a ordo de n, aŭ alivorte la k-a plurfaktorialo de n, estas

${\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{se }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{se }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}$

Duopa faktorialo estas plurfaktorialo de la 2-a ordo.

Primofaktorialo n# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol n. Ekzemple:

${\displaystyle 11\#=12\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310}$

Se p_n estas la n-a primo, do p_n# estas produto de n la unuaj primoj:

La unuaj valoroj de p_n# por n=1, 2, 3, ... estas:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.

• Kombinatoriko
• Γ-funkcio

• Retejo pri faktorialo (cs, en, fr)
• A000142 en OEIS - valoroj de faktorialo n! por n = 0, 1, 2, ...
• A006882 en OEIS - valoroj de duopa faktorialo n!! por n = 0, 1, 2, ...
• A002110 en OEIS - valoroj de p_n#
• A001163 en OEIS - numeratoroj de proksimuma kalkulado de Stirling
• A001164 en OEIS - denominatoroj de proksimuma kalkulado de Stirling