Faktorijel

Faktorijel je matematička funkcija kojom se izračunava proizvod prirodnih brojeva od 1 do nekog određenog prirodnog broja n, označeno kao n!.^[1] Ova funkcija se koristi u statistici, kao i u zakonima vjerovatnoće, te u kombinatorici.

Faktorijelska funkcija se najčešće definiše kao

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad \forall n\in \mathbb {N} .\!}$

ili rekurzivno kao

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\(n-1)!\times n&{\text{if }}n>0.\end{cases}}}$

U obje definicije, uključuje se slučaj

${\displaystyle 0!=1\ }$

zbog konvencije da je proizvod ni jednog broja 1. Ova konvencija je korisna zato što

• rekurzivna relacija ${\displaystyle (n+1)!=n!\times (n+1)}$ važi za ${\displaystyle n=0}$;
• dozvoljava jednostavno pisanje izraza za beskonačne polinome, npr. ${\displaystyle e^{x}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$;
• ova definicija mnoge identitete u kombinatorici čini važećim za nulte veličine.
  • Specifično, broj kombinacija ili permutacija praznog skupa je, jednostavno, broj 1.

Najjednostavnija primjena faktorijela je u kombinatorici gdje se pomoću jednostavne formule binomnog koeficijenta može izračunati broj kombinacija brojeva sa količinom k u jednoj osnovnoj grupi n. Npr. broj kombinacija u lotu.

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$.

Primjenu nalazi i u tzv. Gama funkciji, Taylorovom redu itd.

• ${\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}$

odnosno

• ${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n}$

po definiciji je:

• ${\displaystyle 0!=1\ }$

dok negativni brojevi nemaju faktorijel.

Najveći faktorijel koji se može izračunati na običnim džepnim računarima je faktorijel broja 69. Faktorijel broja 70 ima više od 100 brojki, te se za svaki veći broj n može primijeniti Stirlingova formula za približno izračunavanje.

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

gdje je:

${\displaystyle \pi }$ broj pi (približno 3,14)

${\displaystyle \ e}$ broj e (približno 2,71)

n!! označava u matematici dvostruki faktorijel i odnosi se na faktorijel parnih ili neparnih brojeva

${\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{za }}n=0{\mbox{ ili }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{za }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}$

na primjer:

• ${\displaystyle 10!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10=3840}$

odnosno

• ${\displaystyle 9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945}$

Ako imamo prirodni broj ${\displaystyle n>2}$ tada je ${\displaystyle n\#}$ umnožak prostih brojeva koji ne premašuju ${\displaystyle n}$.

Preciznije,

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{ako}}\ {\text{je}}\ n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{ako}}\ {\text{je}}\ n\ {\text{prost}}\\(n-1)\#&{\text{ako}}\ n>2\ {\text{nije}}\ {\text{prost}}.\end{cases}}}$

• Alternativni faktorijel
• Digama funkcija
• Eksponencijalni faktorijel
• Faktorijelski prorodan broj
• Faktorijom
• Stirlingova aproksimacija
• Trailingove nule faktorijela
• Trougaoni broj, sumarni analog faktorijelu

• Approximation formulas
• All about factorial notation n!
• The Dictionary of Large Numbers
• "Factorial Factoids" od Paula Niquettea

Faktorijelski kalkulatori i algoritmi

• Factorial Calculator: iračunanje faktorijela do 200.000!
• "Factorial" od Ed Pegg, Jr. i Rob Morris, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Fast Factorial Functions (with source code in Java and C#)