Задача Діріхле з вимірними даними для напівлінійних рівнянь на площині

Анотація

Вивчення задачі Діріхле з довільними вимірними даними для гармонічних функцій в одиничному колі  сходить до відомої дисертації Лузіна. Його результат був сформульований у термінах кутових границь (уздовж недотичних шляхів), які є традиційним інструментом для дослідження граничної поведінки ві- дображень у геометричній теорії функцій. Слідуючи цим шляхом, раніше ми довели теорему про роз в’яз- ність задачі Діріхле для рівнянь Пуассона ΔU =G з джерелами в класах G ∈L^p, p >1, в жорданових облас- тях з довільними граничними даними, вимірними відносно логарифмічної ємності. При цьому передба- чалося, що області задовольняють квазігіперболічну граничну умову Герінга—Мартіо, взагалі кажучи, без відомої (А)-умови Ладиженської—Уральцевої і, зокрема, без умови зовнішнього конуса, які були стандартними для крайових задач в теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних. Відзначимо, що такі жорданові області можуть бути навіть локально неспрямлюваними. З метою подальшого розвитку теорії крайових задач для напівлінійних рівнянь у роботі досліджу- ється задача Діріхле з довільними вимірними (відносно логарифмічної ємності) граничними даними для квазілінійних рівнянь Пуассона в таких областях. Для цього спочатку будуються повністю неперервні оператори, які породжують некласичні розв’язки крайової задачі Діріхле з довільними вимірними даними для рівнянь Пуассона ΔU =G з джерелами G ∈L^p, p >1. Останнє дає змогу застосувати підхід Лере— Шаудера до доведення теорем про існування регулярних некласичних розв’язків вимірної задачі Діріхле для квазілінійних рівнянь Пуаcсона виду ΔU (z ) =H (z )⋅Q(U (z )) для множників H ∈L^p з p >1 і неперерв- них функцій Q: R→R з Q(t ) /t →0 для t →∞. Ці результати можуть бути застосовані до деяких кон- кретних квазілінійних рівнянь математичної фізики, що виникають під час моделювання різних фізичних процесів, таких як дифузія з абсорбцією, стани плазми, стаціонарне горіння і т. Д., а також до напів- лінійних рівнянь математичної фізики в анізотропних і неоднорідних середовищах.