Задача Гільберта з вимірними даними для напівлінійних рівнянь типу Векуа
DOI:
https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.02.003Ключові слова:
гранична задача Гільберта, вимірні граничні дані, логарифмічна ємність, напівлінійні рівняння типу Векуа, нелінійні джерела, кутові границі, недотичні шляхиАнотація
Вивчення задачі Діріхле з довільними вимірними даними для гармонічних функцій в одиничному колі D сходить до відомої дисертації Лузіна. Пізніше Векуа були досліджені граничні задачі тільки з неперервними за Гельдером даними для узагальнених аналітичних функцій, тобто неперервних комплекснозначних функцій f (z) комплексної змінної z = x + iy з узагальненими першими частинними похідними за Соболєвим, які задовольняють рівняння виду ∂zf+af+bf=c, де передбачалося, що комплекснозначні функції a, b і c належать класу Lp, p > 2, у досить гладких областях D в C
Дана робота містить теореми існування розв’язків граничної задачі Гільберта з довільними вимірними даними для відповідних нелінійних рівнянь типу Векуа ∂z f (z ) = h (z )q(f (z )). Знайдені розв’язки не є класичними, оскільки наш підхід базується на інтерпретації граничних значень у сенсі кутових (вздовж недотичних шляхів) границь, що є традиційним інструментом геометричної теорії функцій, але не рівнянь у частинних похідних. Одержані результати можуть бути застосовані до встановлення теорем існування для граничної задачі Пуанкаре і, зокрема, для задачі Неймана для нелінійних рівнянь Пуасона виду ΔU (z ) = H (z )Q(U (z )) з довільними вимірними даними відносно логарифмічної ємності. Таким чином, вони можуть буть застосовані також до напівлінійних рівнянь математичної фізики під час моделювання різних фізичних процесів, таких як дифузія з абсорбцією, стани плазми, стаціонарне горіння і т. д. в анізотропних і неоднорідних середовищах. Останнє буде змістом наших подальших статей.
Завантаження
Посилання
Gutlyanskii, V., Nesmelova, O., Ryazanov, V. & Yefimushkin A. (2021). Logarithmic potential and generalized analytic functions. J. Math. Sci., 256, pp. 735-752. https://doi.org/10.1007/s10958-021-05457-5
Gutlyanskii, V. Ya., Nesmelova, O. V., Ryazanov, V. I. & Yefimushkin, A. S. (2022). Dirichlet problem
with measurable data for semilinear equations in the plane. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 1, рр. 11-19.
https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.01.011
Dunford, N. & Schwartz, J. T. (1958). Linear operators. Part I. General theory. Pure and Applied Mathematics., Vol. 7. New York, London: Interscience Publishers.
Leray, J. & Schauder, Ju. (1934). Topologie et équations fonctionnelles. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., Ser. 3, 51, pp. 45-78. https://doi.org/10.24033/asens.836
Becker, J. & Pommerenke, Ch. (1982). Hölder continuity of conformal mappings and non-quasiconformal
Jordan curves. Comment. Math. Helv., 57, No. 2, pp. 221-225. https://doi.org/10.1007/BF02565858
Gutlyanskii, V., Nesmelova, O. & Ryazanov, V. (2018). On quasiconformal maps and semilinear equations in
the plane. J. Math. Sci., 229, No. 1, pp. 7-29. https://doi.org/10.1007/s10958-018-3659-6
Gutlyanskii, V., Nesmelova, O. & Ryazanov, V. (2020). On a quasilinear Poisson equation in the plane. Anal.
Math. Phys., 10, No. 1. https://doi.org/10.1007/s13324-019-00345-3
Gutlyanskii, V., Nesmelova, O. & Ryazanov, V. (2019). To the theory of semilinear equations in the plane.
J. Math. Sci., 242, No. 6, pp. 833-859. https://doi.org/10.1007/s10958-019-04519-z
Vekua, I. N. (1962). Generalized analytic functions. Oxford, New York: Pergamon Press.
Gutlyanskii, V. Ya., Ryazanov, V. I., Yakubov, E. & Yefimushkin, A. S. (2020). On Hilbert boundary value
problem for Beltrami equation. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 45, No. 2, pp. 957-973. https://doi.org/10.5186/aasfm.2020.4552
Efimushkin, A. S. & Ryazanov, V. I. (2015). On the Riemann-Hilbert problem for the Beltrami equations in
quasidisks. J. Math. Sci., 211, No. 5, pp. 646-659. https://doi.org/10.1007/s10958-015-2621-0
Goluzin, G. M. (1969). Geometric theory of functions of a complex variable. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 26. Providence, R.I.: American Mathematical Society. https://doi.org/10.1090/mmono/026
Ahlfors, L. (1966). Lectures on quasiconformal mappings. Princeton, New Jersey, Toronto, New York, London: D. Van Nostrand Company, Inc. https://doi.org/10.1090/ulect/038
Koosis, P. (1998). Introduction to Hp spaces. Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 115. Cambridge: Cambridge Univ. Press.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2022 Доповіді Національної академії наук України
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.
