Betragsfunktion

Den absoluten Betrag einer reellen Zahlkonstanten erhält man durch Weglassen des Vorzeichens. Auf der Zahlengeraden bedeutet der Betrag den Abstand der gegebenen Zahl von Null.

Für eine reelle Zahl ${\displaystyle x}$  gilt:

${\displaystyle |x|={\begin{cases}\ &-x&&\mathrm {\;\;f{\ddot {u}}r\;\;} x<0,\\\ &\;\;\;x&&\mathrm {\;\;f{\ddot {u}}r\;\;} x\geq 0.\\\end{cases}}}$ 

Für eine komplexe Zahl ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$  mit reellen Zahlen ${\displaystyle x}$  und ${\displaystyle y}$  definiert man

${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\bar {z}}}}={\sqrt {(x+\mathrm {i} y)\cdot (x-\mathrm {i} y)}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ,

wobei ${\displaystyle {\bar {z}}:=x-\mathrm {i} y}$  die komplex Konjugierte von ${\displaystyle z}$  bezeichnet.

Ist ${\displaystyle z}$  reell (d. h. ${\displaystyle y=\mathrm {Im} (z)=0}$ , also ${\displaystyle z=x=\mathrm {Re} (z)}$ ), so geht diese Definition in

${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$ 

über, was mit der Definition des Betrages einer reellen Zahl ${\displaystyle x}$  übereinstimmt.

Veranschaulicht man die komplexen Zahlen als Punkte der Gaußschen Zahlenebene, so entspricht diese Definition nach dem Satz des Pythagoras ebenfalls dem Abstand des zur Zahl ${\displaystyle z}$  gehörenden Punktes vom sogenannten Nullpunkt.

Folgende Zahlenbeispiele zeigen die Funktionsweise der Betragsfunktion.

${\displaystyle |7|=7}$ 

${\displaystyle |{-8}|=-(-8)=8}$ 

${\displaystyle |3+4\mathrm {i} |={\sqrt {(3+4\mathrm {i} )\cdot (3-4\mathrm {i} )}}={\sqrt {3^{2}-(4\mathrm {i} )^{2}}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5}$ 

Aus ${\displaystyle |a|=b}$  folgt für reelle Zahlen ${\displaystyle a=b}$  oder ${\displaystyle a=-b}$ .

Ist jedoch ${\displaystyle b<0}$ , dann gibt es kein ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$  und kein ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$  mit ${\displaystyle |a|=b}$ .

In einem weiteren Beispiel seien alle Zahlen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$  gesucht, welche die Gleichung ${\displaystyle |x+3|=5}$  erfüllen.

Man rechnet wie folgt:

${\displaystyle |x+3|=5}$ 

${\displaystyle \Leftrightarrow x+3=5{\text{ oder }}x+3=-5}$ 

${\displaystyle \Leftrightarrow x=5-3{\text{ oder }}x=-5-3}$ 

${\displaystyle \Leftrightarrow x=2{\text{ oder }}x=-8}$ 

Die Gleichung besitzt also genau zwei Lösungen, nämlich 2 und −8.

Für Ungleichungen können die folgenden Äquivalenzen verwendet werden:

${\displaystyle |a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b}$ 

${\displaystyle |a|\geq b\Leftrightarrow a\leq -b{\text{ oder }}b\leq a}$ 

Gesucht seien beispielsweise alle Zahlen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$  mit der Eigenschaft ${\displaystyle |x-3|\leq 9}$ .

Dann rechnet man:

${\displaystyle |x-3|\leq 9}$ 

${\displaystyle \Leftrightarrow -9\leq x-3\leq 9}$ 

${\displaystyle \Leftrightarrow -9+3\leq x\leq 9+3}$ 

${\displaystyle \Leftrightarrow -6\leq x\leq 12}$ 

Als Lösung erhält man also alle ${\displaystyle x}$  aus dem Intervall ${\displaystyle [-6,12]}$ .

Allgemein gilt für reelle Zahlen ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle m}$  und ${\displaystyle r}$ :

${\displaystyle |x-m|\leq r\iff x\in [m-r,m+r]}$ .

Die Betragsfunktion erfüllt die drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität und ist damit eine Norm, genannt Betragsnorm, auf dem Vektorraum der reellen oder komplexen Zahlen. Die Definitheit folgt daraus, dass die einzige Nullstelle der Wurzelfunktion im Nullpunkt liegt, womit

${\displaystyle |z|=0\;\Leftrightarrow \;{\sqrt {z{\bar {z}}}}=0\;\Rightarrow \;z{\bar {z}}=0\;\Leftrightarrow \;z=0}$ 

gilt. Die Homogenität folgt für komplexe ${\displaystyle w,z}$  aus

${\displaystyle |w\cdot z|^{2}=(w\cdot z){\overline {(w\cdot z)}}=(w\cdot z)({\bar {w}}\cdot {\bar {z}})=(w\cdot {\bar {w}})(z\cdot {\bar {z}})=|w|^{2}\cdot |z|^{2}}$ 

und die Dreiecksungleichung aus

${\displaystyle {\begin{aligned}|w+z|^{2}&=(w+z){\overline {(w+z)}}=(w+z)({\bar {w}}+{\bar {z}})=w{\bar {w}}+w{\bar {z}}+z{\bar {w}}+z{\bar {z}}=\\&=|w|^{2}+|z|^{2}+w{\bar {z}}+{\overline {w{\bar {z}}}}=|w|^{2}+|z|^{2}+2\operatorname {Re} (w{\bar {z}})\\&\leq |w|^{2}+|z|^{2}+2\,|w{\bar {z}}|=\\&=|w|^{2}+|z|^{2}+2\,|w|\,|z|=(|w|+|z|)^{2},\end{aligned}}}$ 

wobei sich die beiden gesuchten Eigenschaften jeweils durch Ziehen der (positiven) Wurzel auf beiden Seiten ergeben. Hierbei wurde genutzt, dass die Konjugierte der Summe bzw. des Produkts zweier komplexer Zahlen die Summe bzw. das Produkt der jeweils konjugierten Zahlen ist. Weiterhin wurde verwendet, dass die zweimalige Konjugation wieder die Ausgangszahl ergibt und dass der Betrag einer komplexen Zahl immer mindestens so groß wie ihr Realteil ist. Im reellen Fall folgen die drei Normeigenschaften analog durch Weglassen der Konjugation.

Die Betragsnorm ist vom Standardskalarprodukt zweier reeller bzw. komplexer Zahlen ${\displaystyle x}$  und ${\displaystyle y}$  induziert. Die Betragsnorm selbst induziert wiederum eine Metrik (Abstandsfunktion), die Betragsmetrik

${\displaystyle d(x,y):=|x-y|}$ ,

indem als Abstand der Zahlen der Betrag ihrer Differenz genommen wird.

In diesem Abschnitt werden Eigenschaften der Betragsfunktion angeführt, die insbesondere im mathematischen Bereich der Analysis von Interesse sind.

Die einzige Nullstelle der beiden Betragsfunktionen ist 0, das heißt ${\displaystyle |z|=0}$  gilt genau dann, wenn ${\displaystyle z=0}$  gilt. Dies ist somit eine andere Terminologie der zuvor erwähnten Definitheit.

Für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$  gilt ${\displaystyle z=|z|\cdot \operatorname {sgn}(z)}$ , wobei ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$  die Vorzeichenfunktion bezeichnet. Da die reelle nur die Einschränkung der komplexen Betragsfunktion auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$  ist, gilt die Identität auch für die reelle Betragsfunktion. Die Ableitung der auf ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$  eingeschränkten Betragsfunktion ist die auf ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$  eingeschränkte Vorzeichenfunktion.

Die reelle Betragsfunktion ${\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+}}$  und die komplexe ${\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{0}^{+}}$  sind auf ihrem ganzen Definitionsbereich stetig. Aus der Subadditivität der Betragsfunktion beziehungsweise aus der (umgekehrten) Dreiecksungleichung folgt, dass die beiden Betragsfunktionen sogar Lipschitz-stetig sind mit Lipschitz-Konstante ${\displaystyle L=1}$ :

${\displaystyle {\bigl |}|z|-|w|{\bigr |}\leq |z-w|}$ .

Die reelle Betragsfunktion ist an der Stelle ${\displaystyle 0}$  nicht differenzierbar und somit auf ihrem Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {R} }$  keine differenzierbare Funktion. Sie ist jedoch fast überall differenzierbar, was auch aus dem Satz von Rademacher folgt. Für ${\displaystyle x\neq 0}$  ist die Ableitung der reellen Betragsfunktion die Vorzeichenfunktion ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ . Als stetige Funktion ist die reelle Betragsfunktion über beschränkte Intervalle integrierbar; eine Stammfunktion ist ${\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{2}}x^{2}\operatorname {sgn}(x)}$ .

Die komplexe Betragsfunktion ${\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{0}^{+}}$  ist nirgends komplex differenzierbar, denn die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind nicht erfüllt.

Beide Betragsfunktionen, die reelle und die komplexe, werden archimedisch genannt, weil es eine ganze Zahl ${\displaystyle n}$  gibt mit ${\displaystyle |n|>1}$ . Daraus folgt aber auch, dass für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle m>1}$  ebenfalls ${\displaystyle |m|>1}$  ist.^[1]

Seien ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$ . Dann gilt

• ${\displaystyle |t|=t\operatorname {sgn} (t)}$ 
• ${\displaystyle |t-s|=-2\min(s,t)+s+t}$ 
• ${\displaystyle |t-s|=2\max(s,t)-s-t}$ 

Verallgemeinert spricht man von einem Betrag, wenn eine Funktion ${\displaystyle \varphi }$  von einem Integritätsbereich ${\displaystyle D}$  in die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$  folgende Bedingungen erfüllt:

Die Fortsetzung auf den Quotientenkörper ${\displaystyle K:=\operatorname {Quot} (D)}$  von ${\displaystyle D}$  ist wegen der Multiplikativität eindeutig.

Bemerkung

Eine Betragsfunktion ${\displaystyle \varphi }$  für einen Körper ist eine Bewertung ${\displaystyle \varphi }$  dieses Körpers.

Ist ${\displaystyle \varphi (n)\leq 1}$  für alle natürlichen ${\displaystyle n:=\underbrace {1+\dotsb +1} _{n{\text{-mal}}}}$ , dann nennt man den Betrag (oder die Bewertung) nichtarchimedisch.

Der Betrag ${\displaystyle \varphi (x)=1}$  für alle ${\displaystyle x\neq 0}$  (ist nichtarchimedisch und) wird trivial genannt.

Bei nichtarchimedischen Beträgen (oder Bewertungen) gilt

Sie macht den Betrag zu einem ultrametrischen. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch.

• Integritätsbereiche mit einem archimedischen Betrag haben die Charakteristik 0.
• Integritätsbereiche mit einer von 0 verschiedenen Charakteristik (haben Primzahlcharakteristik und) nehmen nur nichtarchimedische Beträge an.
• Endliche Integritätsbereiche sind endliche Körper mit Primzahlcharakteristik und nehmen nur den trivialen Betrag an.
• Der Körper der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  als Primkörper der Charakteristik 0 und seine endlichen Erweiterungen nehmen sowohl archimedische als auch nichtarchimedische Beträge an.

Der Körper ${\displaystyle K}$  lässt sich für jede Betragsfunktion, genauer: für die von jeder Betragsfunktion (oder Bewertung) induzierte Metrik, vervollständigen. Die Vervollständigung von ${\displaystyle K}$  wird häufig mit ${\displaystyle {\hat {K}}}$  bezeichnet.

Archimedische Vervollständigungen der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  sind ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R} }$  und ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Q} (\mathrm {i} )}}={\hat {\mathbb {Q} }}(\mathrm {i} )=\mathbb {C} }$ , nichtarchimedische sind ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Q} }}=\mathbb {Q} _{p}}$  (die p-adischen Zahlen) für Primzahlen ${\displaystyle p}$ .

Beim trivialen Betrag entsteht nichts Neues.

Sind ${\displaystyle \varphi }$  und ${\displaystyle \psi }$  Beträge (oder Bewertungen) eines Körpers ${\displaystyle K}$ , dann sind die folgenden drei Behauptungen gleichwertig:

1. Jede Folge ${\displaystyle \{x_{\nu }\}}$ , die unter ${\displaystyle \varphi }$  eine Nullfolge ist, d. h. ${\displaystyle \lim \limits _{\nu \to \infty }\varphi (x_{\nu })=0}$ , ist auch unter ${\displaystyle \psi }$  eine Nullfolge – und umgekehrt.
2. Aus ${\displaystyle \varphi (x)<1}$  folgt ${\displaystyle \psi (x)<1}$ .
3. ${\displaystyle \psi }$  ist eine Potenz von ${\displaystyle \varphi }$ , d. h. ${\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)^{\epsilon }}$  für alle ${\displaystyle x}$  mit einem festen ${\displaystyle \epsilon >0}$ .

Nach dem Satz von Ostrowski repräsentieren die in diesem Artikel erwähnten Beträge, der eine archimedische (und euklidische) und die unendlich vielen je einer Primzahl zuzuordnenden nichtarchimedischen, alle Klassen von Beträgen (oder Bewertungen) der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

Für diese Beträge gilt der Approximationssatz.

Die Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen kann durch die Eigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität auf beliebige Vektorräume verallgemeinert werden. Eine solche Funktion wird Norm genannt. Sie ist aber nicht eindeutig bestimmt.

• Eric W. Weisstein: Absolute Value. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ van der Waerden: Algebra. 2. Teil. Springer-Verlag, 1967, Bewertete Körper, S. 203, 212.