Charakteristik (Algebra)

Die Charakteristik eines unitären Ringes ${\displaystyle R}$  ist die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$ , für die in der Arithmetik des Ringes die ${\displaystyle n}$ -fache Summe des Einselementes ${\displaystyle 1}$  gleich dem Nullelement wird, also

${\displaystyle \underbrace {1+1+\dotsb +1} _{n{\text{-mal}}}=0}$ ,

falls eine solche Zahl existiert. Anderenfalls, also wenn jede endliche Summe von Einsen ungleich null ist, wird die Charakteristik des Ringes als ${\displaystyle 0}$  definiert.

Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von ${\displaystyle R}$  ist ${\displaystyle \operatorname {char} (R)}$ .

Alternative Definitionsmöglichkeiten, die keine Sonderbehandlung für das Ergebnis ${\displaystyle 0}$  benötigen, sind:

• Die Charakteristik des unitären Rings ${\displaystyle R}$  ist der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kerns des kanonischen unitären Ringhomomorphismus

${\displaystyle \chi \colon \mathbb {Z} \to R\colon \chi (n):=n\cdot 1_{R}}$ .

• Die Charakteristik des unitären Rings ${\displaystyle R}$  ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl ${\displaystyle n}$ , für die ${\displaystyle R}$  einen unitären Teilring enthält, der isomorph zum Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  ist. (Beachte, dass ${\displaystyle \mathbb {Z} /0\mathbb {Z} =\mathbb {Z} }$  ist.)

Obige Definitionen erklären insbesondere auch die Charakteristik von Körpern, denn jeder Körper ist ein unitärer Ring.

Jeder unitäre Teilring ${\displaystyle S}$  eines unitären Rings ${\displaystyle R}$  hat dieselbe Charakteristik wie ${\displaystyle R}$ .

Gibt es einen Ringhomomorphismus ${\displaystyle R\to S}$  zwischen zwei unitären Ringen ${\displaystyle R}$  und ${\displaystyle S}$ , so ist die Charakteristik von ${\displaystyle S}$  ein Teiler der Charakteristik von ${\displaystyle R}$ .

Für jeden Integritätsring (und insbesondere jeden Körper) ist die Charakteristik entweder 0 oder eine Primzahl (zum Beweis siehe Artikel Integritätsring). Im letzteren Fall spricht man auch von positiver Charakteristik.

Ist ${\displaystyle R}$  ein kommutativer unitärer Ring mit Primzahlcharakteristik ${\displaystyle p}$ , dann gilt ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$  für alle ${\displaystyle x,y\in R}$ . Die Abbildung ${\displaystyle f\colon R\to R,\;x\mapsto x^{p}}$  ist dann ein Ringhomomorphismus und wird Frobeniushomomorphismus genannt.

Ein kommutativer Ring mit der Charakteristik 0 wird ein Ring gemischter Charakteristik genannt, wenn es ein Ideal ${\displaystyle I}$  des Rings gibt, so dass ${\displaystyle R/I}$  positive Charakteristik hat.^[1] Ein Beispiel ist der Ring der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  mit Charakteristik Null, bei dem ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$  für jede Primzahl ${\displaystyle p}$  ein endlicher Körper mit Charakteristik ${\displaystyle p}$  ist.

Der Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  hat die Charakteristik ${\displaystyle n}$ .

Jeder geordnete Körper hat die Charakteristik 0; Beispiele sind die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen. Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich; er enthält nämlich einen Primkörper, der isomorph zum Körper der rationalen Zahlen ist.

• Da der Körper der komplexen Zahlen die rationalen Zahlen enthält, ist auch seine Charakteristik 0.

• Für ein irreduzibles Polynom ${\displaystyle g}$  vom Grad ${\displaystyle n}$  über dem Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$  ist der Faktorring ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]/(g)}$  ein Körper (der isomorph ist zum endlichen Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ ), der ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$  enthält und demnach die Charakteristik ${\displaystyle p}$  hat.

• Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik ${\displaystyle p}$  ist eine Potenz von ${\displaystyle p}$ . Denn er enthält den Teilkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$  und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von ${\displaystyle p}$  ist.

• Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik; Beispiele sind der Körper der rationalen Funktionen über ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$  oder der algebraische Abschluss von ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ .

• Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, Abschnitt 3.1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

1. ↑ Mixed Characteristic, ncatlab