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- التفرطح (بالإنجليزية: Kurtosis) ويسمى أيضا بمعامل التفرطح أو معامل التسطيح أو درجة التقوس أو الكورتوسيس، هو مؤشر لقياس درجة تحدب أو تقوس دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي حقيقي. هو، إلى جانب التجانف، من أهم معالم أشكال توزيع المتغيرات العشوائية، ويمكن من وصف شكل توزيع الاحتمالات في جوار القيمة المتوقعة. تسميته الشائعة كورتوسيس مستنبطة من الإغريقية القديمة (κύρτωσις) وتعني الانحناءة أو التقوس. أول من قام بتعريفه هو كارل بيرسون في القرن 19. (ar)
- En la teoria de la probabilitat i estadística, la curtosi, del grec: κυρτός, kyrtos o kurtos; (corba) convexa, és la mesura de la forma i el grau d'apuntament d'una distribució de probabilitat. En altres paraules, la curtosi mesura si la distribució és apuntada o és aplanada posant el focus en la forma de les cues laterals. Per una mateixa variància, com més alta sigui la curtosi d'una distribució significarà que una part més gran dels successos s'esdevenen prop la mitjana i a les cues (cues més gruixudes). La curtosi és el quart moment estandarditzat, definit com: on μ és la mitjana i σ és la desviació estàndard. Sovint es fa servir, en comptes de la curtosi, l'excés de curtosi, que és la diferència entre la curtosi d'una distribució i la de la distribució normal, que és 3. En alguns contextos s'anomena curtosi a l'excés de curtosi, cosa que pot portar a situacions ambigües. Un distribució amb coeficient de curtosi al voltant del de la normal (excés de curtosi proper a 0) s'anomena mesocúrtica; una amb un excés de curtosi negatiu indica un pic baix i unes cues amples que aviat s'aprimen als costats, s'anomena platicúrtica; una amb excés de curtosi positiu indica un apuntament del pic i unes cues llargues i gruixudes i s'anomena leptocúrtica. En finances s'utilitza com a indicador de la volatilitat que presenta la cotització d'un valor financer. (ca)
- Koeficient špičatosti (excesu) je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která porovnává dané rozdělení s normálním rozdělením pravděpodobnosti. Koeficient špičatosti se obvykle označuje . (cs)
- Die Wölbung, Kyrtosis, Kurtosis oder auch Kurtose (griechisch κύρτωσις kýrtōsis „Krümmen“, „Wölben“) ist eine Maßzahl für die Steilheit bzw. „Spitzigkeit“ einer (eingipfligen) Wahrscheinlichkeitsfunktion, statistischen Dichtefunktion oder Häufigkeitsverteilung. Die Wölbung ist das standardisierte (zentrale) Moment 4. Ordnung. Verteilungen mit geringer Wölbung streuen relativ gleichmäßig; bei Verteilungen mit hoher Wölbung resultiert die Streuung mehr aus extremen, aber seltenen Ereignissen. Der Exzess gibt die Differenz der Wölbung der betrachteten Funktion zur Wölbung der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße an. (de)
- Estatistikan, kurtosia (grezierazko κυρτός, kyrtos edo kurtos, "gainezka egin", "nabarmendu") baten zorroztasun maila da. Batezbesteko eta bariantza berdina dituzten bi banaketa simetriko itxuraz ezberdinak izan daitezkeela eta, kurtosi ezaugarria aztertzen da. Itxuraz, kurtosi handia duen banaketa bat zorrotzagoa izango da bere batez bestekoaren inguruan; zehatzago bariantzaren zati handiena hartzen duena izango da kurtosi handiena duena, zentroan kokatzen diren datuek dakarten bariantzaren aldean. Kurtosi handiko banakuntzek zentro zorrotza dute eta mutur luze eta astunagoak; kurtosi txikiagoko banakuntzek, berriz, zentro zapala eta mutur labur eta arinagoak dituzte. Horrela, era grafiko batean, banaketa batean burua (zentroa), sorbaldak eta besoak bereizten direla, kurtosi handiko banakuntzetan maiztasuna sorbaldetatik beso eta buruetara mugitu dela adierazi izan da. Kurtosiak banaketaren ezaugarri jakingarri bat azaltzeaz gainera, aplikazio interesgarriak ditu. Mutur eta muturreko datuen azterketan kontzeptu erabilgarria da. Aldi berean, estatistikan eredu gisa maiz erabiltzen den banaketa normalak kurtosi-maila jakina eta finkoa duenez, kurtosia datu-multzo baterako eredu normala egokia den baieztatu ahal izateko erabiltzen da. (eu)
- In probability theory and statistics, kurtosis (from Greek: κυρτός, kyrtos or kurtos, meaning "curved, arching") is a measure of the "tailedness" of the probability distribution of a real-valued random variable. Like skewness, kurtosis describes a particular aspect of a probability distribution. There are different ways to quantify kurtosis for a theoretical distribution, and there are corresponding ways of estimating it using a sample from a population. Different measures of kurtosis may have different . The standard measure of a distribution's kurtosis, originating with Karl Pearson, is a scaled version of the fourth moment of the distribution. This number is related to the tails of the distribution, not its peak; hence, the sometimes-seen characterization of kurtosis as "peakedness" is incorrect. For this measure, higher kurtosis corresponds to greater extremity of deviations (or outliers), and not the configuration of data near the mean. It is common to compare the excess kurtosis (defined below) of a distribution to 0, which is the excess kurtosis of any univariate normal distribution. Distributions with negative excess kurtosis are said to be platykurtic, although this does not imply the distribution is "flat-topped" as is sometimes stated. Rather, it means the distribution produces fewer and/or less extreme outliers than the normal distribution. An example of a platykurtic distribution is the uniform distribution, which does not produce outliers. Distributions with a positive excess kurtosis are said to be leptokurtic. An example of a leptokurtic distribution is the Laplace distribution, which has tails that asymptotically approach zero more slowly than a Gaussian, and therefore produces more outliers than the normal distribution. It is common practice to use excess kurtosis, which is defined as Pearson's kurtosis minus 3, to provide a simple comparison to the normal distribution. Some authors and software packages use "kurtosis" by itself to refer to the excess kurtosis. For clarity and generality, however, this article explicitly indicates where non-excess kurtosis is meant. Alternative measures of kurtosis are: the L-kurtosis, which is a scaled version of the fourth L-moment; measures based on four population or sample quantiles. These are analogous to the alternative measures of skewness that are not based on ordinary moments. (en)
- La curtosis de una variable estadística/aleatoria es una característica de forma de su distribución de frecuencias/probabilidad. Según su concepción clásica, una curtosis grande implica una mayor concentración de valores de la variable tanto muy cerca de la media de la distribución (pico) como muy lejos de ella (colas), al tiempo que existe una relativamente menor frecuencia de valores intermedios. Esto explica una forma de la distribución de frecuencias/probabilidad con colas más gruesas, con un centro más apuntado y una menor proporción de valores intermedios entre el pico y colas. Una mayor curtosis no implica una mayor varianza, ni viceversa. Un coeficiente de apuntamiento o de curtosis es el cuarto momento con respecto a la media estandarizado que se define como: donde es el 4º momento centrado o con respecto a la media y es la desviación estándar. En la distribución normal se verifica que , donde es el momento de orden 4 respecto a la media y la desviación típica. Por eso, está más extendida la siguiente definición del coeficiente de curtosis, también denominada exceso de curtosis: donde se ha sustraído 3 (que es la curtosis de la distribución normal o gaussiana) con objeto de generar un coeficiente que valga 0 para la Normal y tome a ésta como referencia de curtosis. Tomando, pues, la distribución normal como referencia, una distribución puede ser:
* leptocúrtica, cuando y : más apuntada y con colas más gruesas que la normal.
* platicúrtica, y : menos apuntada y con colas menos gruesas que la normal.
* mesocúrtica, y : cuando tiene una distribución normal. El coeficiente de curtosis puede usarse como un indicador, en combinación de otros, de la posible existencia de observaciones anómalas, de no normalidad (ver, p.ej., el Test de Jarque-Bera) o de bimodalidad. La evidencia más reciente, no obstante, sostiene que la curtosis poco tiene que ver con el centro de la distribución y su apuntamiento y en cambio mucho con las colas y la posible existencia de valores atípicos. Esta interpretación es la que prevalece a día de hoy. Otra forma de medir la curtosis se obtiene examinando la fórmula de la curtosis de la suma de variables aleatorias. Si Y es la suma de n variables aleatorias estadísticamente independientes, todas con igual distribución X, entonces , complicándose la fórmula si la curtosis se hubiese definido como . (es)
- En théorie des probabilités et en statistique, le kurtosis (du nom féminin grec ancien κύρτωσις, « courbure »), aussi traduit par coefficient d’acuité, coefficient d’aplatissement et degré de voussure, est une mesure directe de l’acuité et une mesure indirecte de l'aplatissement de la distribution d’une variable aléatoire réelle. Il existe plusieurs mesures de l'acuité et le kurtosis correspond à la méthode de Pearson. C’est le deuxième des paramètres de forme, avec le coefficient d'asymétrie (les paramètres fondés sur les moments d’ordre 5 et plus n’ont pas de nom propre). Il mesure, abstraction faite de la dispersion (donnée par l’écart type), la répartition des masses de probabilité autour de leur centre, donné par l’espérance mathématique, c’est-à-dire, d’une certaine façon, leur concentration à proximité ou à distance du centre de probabilité. (fr)
- 尖度（せんど、英: kurtosis)は、確率変数の確率密度関数や頻度分布の鋭さを表す指標である。正規分布と比べて、尖度が大きければ鋭いピークと長く太い裾をもった分布であり、尖度が小さければより丸みがかったピークと短く細い尾をもつ分布である。日本工業規格では、とがり (kurtosis) として平均値まわりの 4 次のモーメント μ4 の標準偏差 σ の 4 乗に対する比 μ4/σ4 と定義している。 (ja)
- La curtosi (nota anche come kurtosi, dal greco κυρτός), nel linguaggio della statistica, è un allontanamento dalla normalità distributiva, rispetto alla quale si verifica un maggiore appiattimento (distribuzione platicurtica) o un maggiore allungamento (distribuzione leptocurtica). La sua misura più nota è l' , rapporto tra il momento centrato di ordine 4 e il quadrato della varianza. Il valore dell'indice corrispondente alla distribuzione normale (gaussiana) è 0 (qualora si utilizzi l'indice qui sotto mostrato che, come si vede, è centrato in zero poiché viene sottratto 3). Un valore minore di 0 indica una distribuzione platicurtica, mentre un valore maggiore di 0 indica una distribuzione leptocurtica (è possibile che alcuni indici non siano centrati in zero e quindi il valore ottenuto nel caso di normalità è 3). (it)
- 첨도(尖度, 영어: kurtosis 커토시스[*])는 확률분포의 꼬리가 두꺼운 정도를 나타내는 척도이다. 극단적인 편차 또는 이상치가 많을 수록 큰 값을 나타낸다. 첨도값(K)이 3에 가까우면 산포도가 정규분포에 가깝다. 3보다 작을 경우에는(K<3) 산포는 정규분포보다 꼬리가 얇은 분포로 생각할 수 있다, 첨도값이 3보다 큰 양수이면(K>3) 정규분포보다 꼬리가 두꺼운 분포로 판단할 수 있다. (ko)
- In de kansrekening en de statistiek is kurtosis (Grieks: κύρτωσις, kurtosis, welven, krommen) of welving (gewelfdheid), (ook wel platheid genoemd) een maat voor de 'staartvormigheid' van een kansverdeling. Zowel de parameter zelf als de schatter daarvan worden met kurtosis aangeduid. Een hoge kurtosis wijst op een verdeling met lage kans op extreme uitschieters, vanwege de staartvorm. Dit houdt in dat een relatief groot deel van de variantie veroorzaakt wordt door zeldzame extreme waarden. Een lage kurtosis wijst op een platte verdeling. Hier wordt de variantie voornamelijk veroorzaakt door een groter deel minder extreme waarden. Soms wordt er gezegd dat kurtosis gerelateerd is aan de 'piekvormigheid', maar dat is incorrect. (nl)
- Коэффицие́нт эксце́сса (коэффициент островершинности) в теории вероятностей — мера остроты пика распределения случайной величины. (ru)
- Kurtoza (z gr. κυρτός, kyrtos, kurtos – wydęty) – jedna z miar kształtu rozkładu wartości cechy. Definiuje się ją następującym wzorem: gdzie: – czwarty moment centralny, – odchylenie standardowe. (pl)
- Kurtosis är ett mått för hur sannolika de mer extrema utfallen är för en given sannolikhetsfördelning. Normalfördelningen har en kurtosis lika med tre, och storheten kan användas som ett mått på hur mycket en sannolikhetsfördelning avviker från en vanlig Gausskurva. En fördelning med kurtosis större än tre kallas leptokurtosisk och kännetecknas av en hög, smal topp kring medelvärdet samt tjocka ("fat tails"); sannolikheten för extrema utfall är då hög jämfört med en normalfördelning. Dessa sannolikhetsfördelningar är vanliga i bland annat . En fördelning med kurtosis mindre än tre kallas platykurtosisk och har en tjock topp med smala eller inga svansar, vilket ger den en rund form. (sv)
- Коефіцієнт ексцесу (англ. kurtosis) — числова характеристика розподілу ймовірностей дійсної випадкової величини. Коефіцієнт ексцесу характеризує «крутість», тобто, стрімкість підвищення кривої розподілу у порівнянні з нормальною кривою. (uk)
- Em estatística descritiva, a curtose é uma medida de forma que caracteriza o achatamento da curva da função de distribuição de probabilidade . É usualmente definida como: Onde é o quarto momento central e σ é o desvio-padrão. Alguns textos definem a curtose como a razão entre o quarto momento central e o quadrado do segundo momento central. neste caso a curtose da distribuição normal é 3. A curtose não tem limite superior (ou seja, existem distribuições com curtose tão alta quanto se queira), porém seu limite inferior é -2, na Bernoulli com p = 1/2. (pt)
- 峰度（英語：Kurtosis），亦稱尖度，在統計學中衡量實數隨機變量概率分布的峰態。峰度高就意味著方差增大是由低頻度的大於或小於平均值的極端差值引起的。 (zh)
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- التفرطح (بالإنجليزية: Kurtosis) ويسمى أيضا بمعامل التفرطح أو معامل التسطيح أو درجة التقوس أو الكورتوسيس، هو مؤشر لقياس درجة تحدب أو تقوس دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي حقيقي. هو، إلى جانب التجانف، من أهم معالم أشكال توزيع المتغيرات العشوائية، ويمكن من وصف شكل توزيع الاحتمالات في جوار القيمة المتوقعة. تسميته الشائعة كورتوسيس مستنبطة من الإغريقية القديمة (κύρτωσις) وتعني الانحناءة أو التقوس. أول من قام بتعريفه هو كارل بيرسون في القرن 19. (ar)
- Koeficient špičatosti (excesu) je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která porovnává dané rozdělení s normálním rozdělením pravděpodobnosti. Koeficient špičatosti se obvykle označuje . (cs)
- 尖度（せんど、英: kurtosis)は、確率変数の確率密度関数や頻度分布の鋭さを表す指標である。正規分布と比べて、尖度が大きければ鋭いピークと長く太い裾をもった分布であり、尖度が小さければより丸みがかったピークと短く細い尾をもつ分布である。日本工業規格では、とがり (kurtosis) として平均値まわりの 4 次のモーメント μ4 の標準偏差 σ の 4 乗に対する比 μ4/σ4 と定義している。 (ja)
- 첨도(尖度, 영어: kurtosis 커토시스[*])는 확률분포의 꼬리가 두꺼운 정도를 나타내는 척도이다. 극단적인 편차 또는 이상치가 많을 수록 큰 값을 나타낸다. 첨도값(K)이 3에 가까우면 산포도가 정규분포에 가깝다. 3보다 작을 경우에는(K<3) 산포는 정규분포보다 꼬리가 얇은 분포로 생각할 수 있다, 첨도값이 3보다 큰 양수이면(K>3) 정규분포보다 꼬리가 두꺼운 분포로 판단할 수 있다. (ko)
- In de kansrekening en de statistiek is kurtosis (Grieks: κύρτωσις, kurtosis, welven, krommen) of welving (gewelfdheid), (ook wel platheid genoemd) een maat voor de 'staartvormigheid' van een kansverdeling. Zowel de parameter zelf als de schatter daarvan worden met kurtosis aangeduid. Een hoge kurtosis wijst op een verdeling met lage kans op extreme uitschieters, vanwege de staartvorm. Dit houdt in dat een relatief groot deel van de variantie veroorzaakt wordt door zeldzame extreme waarden. Een lage kurtosis wijst op een platte verdeling. Hier wordt de variantie voornamelijk veroorzaakt door een groter deel minder extreme waarden. Soms wordt er gezegd dat kurtosis gerelateerd is aan de 'piekvormigheid', maar dat is incorrect. (nl)
- Коэффицие́нт эксце́сса (коэффициент островершинности) в теории вероятностей — мера остроты пика распределения случайной величины. (ru)
- Kurtoza (z gr. κυρτός, kyrtos, kurtos – wydęty) – jedna z miar kształtu rozkładu wartości cechy. Definiuje się ją następującym wzorem: gdzie: – czwarty moment centralny, – odchylenie standardowe. (pl)
- Коефіцієнт ексцесу (англ. kurtosis) — числова характеристика розподілу ймовірностей дійсної випадкової величини. Коефіцієнт ексцесу характеризує «крутість», тобто, стрімкість підвищення кривої розподілу у порівнянні з нормальною кривою. (uk)
- Em estatística descritiva, a curtose é uma medida de forma que caracteriza o achatamento da curva da função de distribuição de probabilidade . É usualmente definida como: Onde é o quarto momento central e σ é o desvio-padrão. Alguns textos definem a curtose como a razão entre o quarto momento central e o quadrado do segundo momento central. neste caso a curtose da distribuição normal é 3. A curtose não tem limite superior (ou seja, existem distribuições com curtose tão alta quanto se queira), porém seu limite inferior é -2, na Bernoulli com p = 1/2. (pt)
- 峰度（英語：Kurtosis），亦稱尖度，在統計學中衡量實數隨機變量概率分布的峰態。峰度高就意味著方差增大是由低頻度的大於或小於平均值的極端差值引起的。 (zh)
- En la teoria de la probabilitat i estadística, la curtosi, del grec: κυρτός, kyrtos o kurtos; (corba) convexa, és la mesura de la forma i el grau d'apuntament d'una distribució de probabilitat. En altres paraules, la curtosi mesura si la distribució és apuntada o és aplanada posant el focus en la forma de les cues laterals. Per una mateixa variància, com més alta sigui la curtosi d'una distribució significarà que una part més gran dels successos s'esdevenen prop la mitjana i a les cues (cues més gruixudes). La curtosi és el quart moment estandarditzat, definit com: (ca)
- Die Wölbung, Kyrtosis, Kurtosis oder auch Kurtose (griechisch κύρτωσις kýrtōsis „Krümmen“, „Wölben“) ist eine Maßzahl für die Steilheit bzw. „Spitzigkeit“ einer (eingipfligen) Wahrscheinlichkeitsfunktion, statistischen Dichtefunktion oder Häufigkeitsverteilung. Die Wölbung ist das standardisierte (zentrale) Moment 4. Ordnung. Verteilungen mit geringer Wölbung streuen relativ gleichmäßig; bei Verteilungen mit hoher Wölbung resultiert die Streuung mehr aus extremen, aber seltenen Ereignissen. (de)
- La curtosis de una variable estadística/aleatoria es una característica de forma de su distribución de frecuencias/probabilidad. Según su concepción clásica, una curtosis grande implica una mayor concentración de valores de la variable tanto muy cerca de la media de la distribución (pico) como muy lejos de ella (colas), al tiempo que existe una relativamente menor frecuencia de valores intermedios. Esto explica una forma de la distribución de frecuencias/probabilidad con colas más gruesas, con un centro más apuntado y una menor proporción de valores intermedios entre el pico y colas. (es)
- Estatistikan, kurtosia (grezierazko κυρτός, kyrtos edo kurtos, "gainezka egin", "nabarmendu") baten zorroztasun maila da. Batezbesteko eta bariantza berdina dituzten bi banaketa simetriko itxuraz ezberdinak izan daitezkeela eta, kurtosi ezaugarria aztertzen da. Itxuraz, kurtosi handia duen banaketa bat zorrotzagoa izango da bere batez bestekoaren inguruan; zehatzago bariantzaren zati handiena hartzen duena izango da kurtosi handiena duena, zentroan kokatzen diren datuek dakarten bariantzaren aldean. Kurtosi handiko banakuntzek zentro zorrotza dute eta mutur luze eta astunagoak; kurtosi txikiagoko banakuntzek, berriz, zentro zapala eta mutur labur eta arinagoak dituzte. Horrela, era grafiko batean, banaketa batean burua (zentroa), sorbaldak eta besoak bereizten direla, kurtosi handiko ban (eu)
- In probability theory and statistics, kurtosis (from Greek: κυρτός, kyrtos or kurtos, meaning "curved, arching") is a measure of the "tailedness" of the probability distribution of a real-valued random variable. Like skewness, kurtosis describes a particular aspect of a probability distribution. There are different ways to quantify kurtosis for a theoretical distribution, and there are corresponding ways of estimating it using a sample from a population. Different measures of kurtosis may have different . (en)
- En théorie des probabilités et en statistique, le kurtosis (du nom féminin grec ancien κύρτωσις, « courbure »), aussi traduit par coefficient d’acuité, coefficient d’aplatissement et degré de voussure, est une mesure directe de l’acuité et une mesure indirecte de l'aplatissement de la distribution d’une variable aléatoire réelle. Il existe plusieurs mesures de l'acuité et le kurtosis correspond à la méthode de Pearson. C’est le deuxième des paramètres de forme, avec le coefficient d'asymétrie (les paramètres fondés sur les moments d’ordre 5 et plus n’ont pas de nom propre). (fr)
- La curtosi (nota anche come kurtosi, dal greco κυρτός), nel linguaggio della statistica, è un allontanamento dalla normalità distributiva, rispetto alla quale si verifica un maggiore appiattimento (distribuzione platicurtica) o un maggiore allungamento (distribuzione leptocurtica). La sua misura più nota è l' , rapporto tra il momento centrato di ordine 4 e il quadrato della varianza. Il valore dell'indice corrispondente alla distribuzione normale (gaussiana) è 0 (qualora si utilizzi l'indice qui sotto mostrato che, come si vede, è centrato in zero poiché viene sottratto 3). Un valore minore di 0 indica una distribuzione platicurtica, mentre un valore maggiore di 0 indica una distribuzione leptocurtica (è possibile che alcuni indici non siano centrati in zero e quindi il valore ottenuto ne (it)
- Kurtosis är ett mått för hur sannolika de mer extrema utfallen är för en given sannolikhetsfördelning. Normalfördelningen har en kurtosis lika med tre, och storheten kan användas som ett mått på hur mycket en sannolikhetsfördelning avviker från en vanlig Gausskurva. En fördelning med kurtosis större än tre kallas leptokurtosisk och kännetecknas av en hög, smal topp kring medelvärdet samt tjocka ("fat tails"); sannolikheten för extrema utfall är då hög jämfört med en normalfördelning. Dessa sannolikhetsfördelningar är vanliga i bland annat . (sv)
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