The recognition and the constitution of the theorems of closure. (English. French summary) Zbl 1408.01007
The article is a detailed investigation of a class of theorems centralized and unified under the name of “theorems of closure” (Schließungssätze). Starting with Poncelet’s theorem on polygons inscribed in a conic and circumscribed about another conic as well as their prehistory the author follows the development of this class of problems during the 19th century up to the first decade of the 20th century. He wants to show how these diverse geometric theorems, that were primarily considered to be disconnected from each other, have been progressively gathered and unified as a larger class of problems and theorems labelled as “Schließungssätze” or “Schließungsprobleme”. The author speaks of the category of the theorems of closure and his analysis is concentrated on the process of emerging of this category. He divides the process into different stages: (i) several theorems proved by J.-V. Poncelet, J. Steiner, C. G. J. Jacobi in the first half of the 19th century and A. Cayley, A. Clebsch, as well as some others in the 1850ies and 1860ies, (ii) the first mentions of a certain class of problems and theorems, called “Schließungsprobleme”, by A. Clebsch, J. Rosanes, M. Pasch, and E. Weyr in the short period between 1864 and 1870, (iii) the search for unifying technical frameworks of the theorems of closure represented by articles of F. August, M. Simon and A. Hurwitz in the second half of the 1870ies, and (iv) the forming of the category of closure theorems by the publication of many works revisiting the already-known theorems of closure or creating and investigating extensions of these theorems. This last stage ends with the contributions of M. Zacharias, F. Dingeldey, O. Staude, and G. Kohn to the “Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften” at the beginning of the 20th century. The articles of these mathematicians contained one or more sections regarding problems of closure or theorems of closure. In order to contour the domain of his investigations the author used the references given by the above mentioned mathematicians in their articles in the “Encyklopädie” as well as by M. Simon in the section “Schließungsproblem” of his book on the history of elementary geometry [in: Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert. Leipzig: B. G. Teubner. 108–109 (1906)]. In this way, a solid basis of 130 texts written by 87 authors has been created. The author of the paper under review gives a thorough analysis of the four stages. He characterizes lucidly the different approaches to a unification of the various problems of closure and finishes with some theoretical reflections upon the formation process of the category of closure theorems. The latter is referred to Wittgenstein’s concept of “family resemblance” and strictly distinguished from the classical view on categories as defined by a set of essential features that were shared by all members of the category.
Reviewer: Karl-Heinz Schlote (Altenburg)
MSC:
| 01A55 | History of mathematics in the 19th century |
| 01A85 | Historiography |
| 14-03 | History of algebraic geometry |
| 11G05 | Elliptic curves over global fields |
References:
| [1] | Abel, Niels Henrik; Clausen, Thomas; Steiner, Jacob, Aufgabe und lehrsätze, erstere aufzulösen, letztere zu beweisen, J. Reine Angew. Math., 2, 286-292, (1827) |
| [2] | August, Friedrich, Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis, (1862), Universitate Friderica Guilelma Berolinensi Berlin, PhD thesis |
| [3] | August, Friedrich, Lehrsatz, eine gewisse raumcurve sechsten grades betreffend, Arch. Math. Phys., 58, 216-218, (1876) · JFM 07.0512.01 |
| [4] | August, Friedrich, Über die zusammenhang gewisser Sätze, welche sich auf geschlossene reihen geometrischer gebilde beziehen, Arch. Math. Phys., 59, 1-17, (1876) · JFM 08.0370.02 |
| [5] | Barbin, Évelyne; Guitart, René, Algèbre des fonctions elliptiques et géométrie des ovales cartésiennes, Rev. Hist. Math., 7, 2, 161-205, (2001) · Zbl 1030.01022 |
| [6] | (Bečvář, Jindřich, Eduard Weyr, (1995), Prometheus Prague) |
| [7] | Bernard, Alain, LES séries de problèmes, un genre au carrefour des cultures, SHS Web of Conferences, 22, (2015) |
| [8] | Bos, Henk J. M.; Kers, Cees; Oort, Frans; Diederick, Raven, Poncelet’s closure theorem, Expo. Math., 5, 289-364, (1987) · Zbl 0633.51014 |
| [9] | Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy, Hidden harmony—geometric fantasies: the rise of complex functions, (2013), Springer New York · Zbl 1276.30006 |
| [10] | Brechenmacher, Frédéric, Une histoire de l’universalité des matrices mathématiques, Rev. Synth., 131, 4, 569-603, (2010) · Zbl 1225.15003 |
| [11] | Brill, Alexander; Gordan, Paul; Klein, Felix; Lüroth, Jacob; Mayer, Adolph; Noether, Max; von der Muhll, Karl, Rudolf friedrich Alfred Clebsch - versuch einer darlegung und Würdigung seiner wissenschaftlichen leistungen, Math. Ann., 7, 1-55, (1873) |
| [12] | Cantor, Moritz, Ueber die porismen des euclid und deren divinatoren, Z. Math. Phys., 2, 17-57, (1857) |
| [13] | Cayley, Arthur, Correction of two theorems relating to the porism of the in-and-circumscribed polygon, Philos. Mag., 6, 376-377, (1853) |
| [14] | Cayley, Arthur, Note on the porism of the in-and-circumscribed polygon, Philos. Mag., 6, 99-102, (1853) |
| [15] | Cayley, Arthur, On the geometrical interpretation of the integral \(\int \operatorname{d} x \div \sqrt{(x + a)(x + b)(x + c)}\), Philos. Mag., 5, 281-284, (1853) |
| [16] | Cayley, Arthur, Supplementary remarks on the porism of the in-and-circumscribed triangle, Philos. Mag., 13, 19-30, (1857) |
| [17] | Cayley, Arthur, On the porism of the in-and-circumscribed polygon, Philos. Trans. R. Soc. Lond., 151, 225-239, (1861) |
| [18] | Cayley, Arthur, A ‘smith’s prize’ paper; solutions, Oxford, Cambridge and Dublin Messenger Math., 5, 182-203, (1871) |
| [19] | Cayley, Arthur, On the porism of the in-and-circumscribed polygon, and the (2, 2) correspondence of points on a conic, Q. J. Pure Appl. Math., 11, 83-91, (1871) · JFM 02.0505.01 |
| [20] | Cayley, Arthur, The collected mathematical papers of Arthur Cayley, vol. 8, (1895), Cambridge University Press Cambridge · JFM 26.0034.02 |
| [21] | Chapple, William, An essay of the properties of triangles inscribed in, and circumscribed about two given circles, Miscellanea Curiosa Mathematica, 1, 117-124, (1749) |
| [22] | Chasles, Michel, LES trois livres de porismes d’Euclide, (1860), Mallet-Bachelier Paris |
| [23] | Chasles, Michel, Considérations sur la méthode générale exposée dans la séance du 15 février, C. R. Séances Acad. Sci., 58, 1167-1175, (1864) |
| [24] | Chemla, Karine, Lazare Carnot et la généralité en géométrie. variations sur le théorème dit de menelaus, Rev. Hist. Math., 4, 163-190, (1998) · Zbl 0941.01013 |
| [25] | Chemla, Karine, On mathematical problems as historically determined artifacts: reflections inspired by sources from ancient China, Hist. Math., 36, 213-246, (2009) · Zbl 1182.01004 |
| [26] | Chorlay, Renaud, From problems to structures: the cousin problems and the emergence of the sheaf concept, Arch. Hist. Exact Sci., 64, 1, 1-73, (2010) · Zbl 1198.01001 |
| [27] | Clebsch, Alfred, Ueber einen satz von Steiner und einige punkte der theorie der curven dritter ordnung, J. Reine Angew. Math., 63, 94-121, (1864) · ERAM 063.1638cj |
| [28] | (Cohen, Henri; Lefebvre, Claire, Handbook of Categorization in Cognitive Science, (2017), Elsevier Amsterdam, Oxford, Cambridge) |
| [29] | Croizat, Barnabé, Gaston Darboux: naissance d’un mathématicien, genèse d’un professeur, chronique d’un rédacteur, (2016), Université Lille 1, PhD thesis |
| [30] | Darboux, Gaston, Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la théorie des imaginaires, (1873), Gauthier-Villars Paris · JFM 05.0399.01 |
| [31] | Del Centina, Andrea, Poncelet’s porism: a long story of renewed discoveries, Arch. Hist. Exact Sci., 70, 1-122, (2016), 123-176 · Zbl 1333.01015 |
| [32] | Dieudonné, Jean, Cours de géométrie algébrique, Aperçu historique sur le dévéloppement de la géométrie algébrique, vol. 1, (1974), Presses Universitaires de France Vendôme · Zbl 1092.14500 |
| [33] | Dingeldey, Friedrich, Kegelschnitte und kegelschnittsysteme, (Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, vol. III. C. 1, (1903), Teubner Leipzig), 1-160 · JFM 34.0631.02 |
| [34] | Disteli, Martin, Die Steiner’schen schliessungsprobleme nach darstellend geometrischer methode, (1888), Teubner Leipzig · JFM 20.0627.03 |
| [35] | (Durand-Richard, Marie-José, L’analogie dans la démarche historique: perspective historique, (2008), L’Harmattan Paris) |
| [36] | Durrande, J. B., Démonstration élémentaire des principales propriétés des hexagones inscrits et circonscrits au cercle, suivie de la solution de divers problèmes de géométrie, Ann. Math. Pures Appl., 14, 29-62, (1823-1824) |
| [37] | Eberhard, Viktor, Die raumcurven vierter ordnung erster und zweiter species in ihrem zusammenhang mit den Steiner’schen schliessungsproblemen bei den ebenen curven dritter ordnung, Z. Math. Phys., 32, 65-82, (1887), 129-144 · JFM 19.0646.01 |
| [38] | Frei, Günther; Stammbach, Urs, Die mathematiker an den Zürcher hochschulen, (1994), Springer Basel · Zbl 0809.01030 |
| [39] | Friedelmeyer, Jean-Pierre, Le théorème de clôture de Poncelet, une démonstration «imparfaite», qui fait toute une histoire…, (Barbin, Évelyne; Bénard, Dominique, Histoire et enseignement des mathématiques - Rigueurs, erreurs, raisonnements, (2007), Institut National de Recherche Pédagogique - Université Blaise-Pascal de Clermont-Ferrand (IREM)), 229-261 · Zbl 1390.00039 |
| [40] | Friedelmeyer, Jean-Pierre, L’impulsion originelle de Poncelet dans l’invention de la géométrie projective, (Éléments d’une biographie de l’Espace projectif, (2011), Presses Universitaires de Nancy Nancy), 55-158 |
| [41] | Fuss, Nicolas, De quadrilateris quibus circulum Tam inscribere quam circumscribere licet, Nova Acta Acad. Sci. Imper. Petropolitanae, 10, année 1792, 103-125, (1798) |
| [42] | Fuss, Nicolas, De polygonis symmetrice irregularibus circulo simul inscriptis et circumscriptis, Nova Acta Acad. Sci. Imper. Petropolitanae, 13, années 1795-1796, 166-189, (1802) |
| [43] | Gandon, Sébastien, Pasch entre Klein et Peano: empirisme et idéalité en géométrie, Dialogue, 14, 653-692, (2005) · Zbl 1102.01016 |
| [44] | Gilain, Christian, Sur l’histoire du théorème fondamental de l’algèbre: théorie des équations et calcul intégral, Arch. Hist. Exact Sci., 42, 91-136, (1991) · Zbl 0766.01018 |
| [45] | Gilain, Christian, La place de l’analyse dans la classification des mathématiques: de l’encyclopédie à la Méthodique, Recherches sur Diderot et sur l’Encyclopédie, 45, 109-128, (2010) |
| [46] | Gispert, Hélène, LES débuts de l’histoire des mathématiques sur LES scènes internationales et le cas de l’entreprise encyclopédique de felix Klein et jules molk, Hist. Math., 26, 344-360, (1999) · Zbl 0953.01013 |
| [47] | Goldstein, Catherine, L’un est l’autre: pour une histoire du cercle, (Serres, Michel, Éléments d’histoire des sciences, (1989), Bordas Paris), 129-149 |
| [48] | Goldstein, Catherine, Routine controversies: mathematical challenges in Mersenne’s correspondence, Rev. Hist. Sci., 66, 2, 249-273, (2013) · Zbl 1302.01009 |
| [49] | Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert, A book in search of a discipline, (Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert; Schwermer, Joachim, The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae, (2007), Springer Berlin), 3-65 · Zbl 1149.01001 |
| [50] | Griffith, Phillip A.; Harris, Joseph, On Cayley’s explicit solution to Poncelet’s porism, Enseign. Math. 2nd ser., 24, 31-40, (1978) · Zbl 0384.14009 |
| [51] | Halphen, Georges-Henri, Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications, vol. 1, (1886), Gauthier-Villars Paris |
| [52] | Hart, Andrew, On the porism of the in-and-circumscribed triangle, Q. J. Pure Appl. Math., 2, 143, (1858) |
| [53] | Heath, Thomas, Porism, (Chisholm, Hugh, Encyclopædia Britannica. 11th ed., vol. 22, (1911), Cambridge University Press), 102-103 |
| [54] | Heath, Thomas, A history of Greek mathematics. 2 vols, (1921), Clarendon Press Oxford · JFM 48.0046.01 |
| [55] | Hurwitz, Adolf, Ueber unendlich-vieldeutige geometrische aufgaben, insbesondere über die schliessungsprobleme, Math. Ann., 15, 8-15, (1879) · JFM 11.0398.01 |
| [56] | Hurwitz, Adolf, Ueber die anwendung der elliptischen functionen auf probleme der geometrie, Math. Ann., 19, 56-66, (1882) · JFM 13.0367.03 |
| [57] | Hurwitz, Adolf; Schubert, Hermann, Ueber den Chasles’schen satz \(\alpha \mu + \beta \nu\), Nachr. Königl. Ges. Wiss. Georg-Augusts-Univ., 503-517, (1876) · JFM 08.0388.03 |
| [58] | Jacob, Elin K., Classification and categorization: a difference that makes a difference, Libr. Trends, 52, 3, 515-540, (2004) |
| [59] | Jacobi, Carl Gustav Jacob, Ueber die anwendung der elliptischen transcendenten auf ein bekanntes problem der elementargeometrie: ‚die relation zwischen der distanz der mittelpuncte und der radien zweier kreise zu finden, von denen der eine einem unregelmässigen polygon eingeschrieben, der andere demselben umgeschrieben ist‘, J. Reine Angew. Math., 3, 376-389, (1828) · ERAM 003.0129cj |
| [60] | Jacobi, Carl Gustav Jacob, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, (1829), Bornträger Berlin |
| [61] | Jacobi, Carl Gustav Jacob, Sur l’application des transcendantes elliptiques à ce problème connu de géometrie: trouver la relation entre la distance des centres et LES rayons de deux cercles dont l’un est circonscrit à un polygone irrégulier et dont l’autre est inscrit à ce même polygone, J. Math. Pures Appl., 10, 435-444, (1845), trad. Olry Terquem |
| [62] | Knobloch, Eberhard, L’analogie et la pensée mathématique, (Rashed, Roshdi, Mathématiques et Philosophie de l’Antiquité à l’Âge classique, (1991), Éditions du CNRS Paris), 217-237 · Zbl 0755.01001 |
| [63] | Kohn, Gustav, Ebene kurven dritter und vierter ordnung, (Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, vol. III. 2. 1, (1908), Teubner Leipzig), 457-570 |
| [64] | Lê, François, Reflections on the notion of culture in the history of mathematics: the example of “geometrical equations”, Science in Context, 29, 3, 273-304, (2016) · Zbl 1379.01015 |
| [65] | Lê, François, Le paramétrage elliptique des courbes cubiques par Alfred Clebsch, Rev. Hist. Math., 24, 1-39, (2018) · Zbl 1403.01013 |
| [66] | Lê, François; Paumier, Anne-Sandrine, De la science comme classification à la classification comme pratique scientifique: quelques réflexions à partir de deux cas mathématiques, Cahiers François Viéte. 3rd ser., 1, 9-33, (2016) |
| [67] | (Lê, François; Paumier, Anne-Sandrine, La classification comme pratique scientifique. 3rd ser. 1, (2016)) |
| [68] | Lorenat, Jemma, Not set in stone: nineteenth-century geometrical constructions and the Malfatti problem, BSHM Bull.: J. British Soc. Hist. Math., 27, 169-180, (2012) · Zbl 1266.01020 |
| [69] | Lorenat, Jemma, Synthetic and analytic geometries in the publications of jakob Steiner and Julius Plücker (1827-1829), Arch. Hist. Exact Sci., 70, 4, 413-462, (2016) · Zbl 1358.01034 |
| [70] | Lorenat, Jemma, Radical, ideal and equal powers: new definitions in modern geometry 1814-1826, Rev. Hist. Math., 23, 71-123, (2017) · Zbl 1390.01015 |
| [71] | Morley, Frank, On two cubic curves in triangular relation, Proc. Lond. Math. Soc. 2nd ser., 4, 384-392, (1907) · JFM 37.0612.05 |
| [72] | Moutard, Théodore, Recherches analytiques sur LES polygones simultanément inscrits et circonscrits à deux coniques, (Applications d’analyse et de géométrie, qui ont servi de principal fondement au Traité des propriétés projectives des figures, vol. 1, (1862), Mallet-Bachelier Paris), 535-560 |
| [73] | Moutard, Théodore, Note sur la transformation par rayons vecteurs réciproques, Nouv. Ann. Math. 2nd ser., 3, 306-309, (1864) |
| [74] | Moutard, Théodore, Sur LES surfaces anallagmatiques du quatrième ordre, Nouv. Ann. Math. 2nd ser., 3, 536-539, (1864) |
| [75] | Müller, Felix, Mathematisches vokabularium: französisch-Deutsch und Deutsch-französisch, enthaltend die kunstausdrücke aus der reinen und angewandten Mathematik, (1900), Teubner Leipzig · JFM 31.0903.01 |
| [76] | Nabonnand, Philippe, L’étude des propriétés projectives des figures par Poncelet: une modernité explicitement ancrée dans la tradition, (Gilain, Christian; Guilbaud, Alexandre, Sciences mathématiques 1750-1850. Continuités et ruptures, (2015), CNRS Éditions Paris), 381-402 · Zbl 1365.01028 |
| [77] | Oswald, Nicola; Steuding, Jörg, Complex continued fractions: early work of the brothers Adolf and Julius Hurwitz, Arch. Hist. Exact Sci., 68, 4, 499-528, (2014) · Zbl 1304.01026 |
| [78] | Pasch, Moritz, Eine selbstschilderung, Mitteilungen aus dem mathematischen Seminar Giessen, 146, 1-19, (1980), Münchowsche Universitätsdruckerei Giessen, Repr · Zbl 0436.01014 |
| [79] | Picquet, Henry, Applications de la représentation des courbes du troisième degré à l’aide des fonctions elliptiques, J. Éc. Polytech., 54, 31-100, (1884) · JFM 17.0464.01 |
| [80] | Playfair, John, On the origin and investigation of porisms, Trans. R. Soc. Edinb., 3, 154-204, (1794) |
| [81] | Poncelet, Jean-Victor, Traité des propriétés projectives des figures, vol. 1, (1822), Bachelier Paris |
| [82] | Poncelet, Jean-Victor, Applications d’analyse et de géométrie, qui ont servi de principal fondement au traité des propriétés projectives des figures, vol. 1, (1862), Mallet-Bachelier Paris |
| [83] | Richelot, Friedrich, Anwendung der elliptischen transcendenten auf die sphärischen polygone, welcher zugleich einem kleinen kreise der kugel eingeschrieben und einem andern umgesschreiben sind, J. Reine Angew. Math., 5, 250-267, (1830) · ERAM 005.0192cj |
| [84] | Richelot, Friedrich, Ueber die anwendung einiger formeln aus der theorie der elliptischen functionen auf ein bekanntes problem der geometrie, J. Reine Angew. Math., 38, 353-372, (1849) · ERAM 038.1054cj |
| [85] | Rollet, Laurent; Nabonnand, Philippe, Un journal pour LES mathématiques spéciales: LES nouvelles annales de mathématiques (1842-1927), Bulletin de l’Union des Professeurs de Spéciale, 86, 5-18, (2013) |
| [86] | Rosanes, Jacob; Pasch, Moritz, Ueber das einem kegelschnitte umbeschriebene und einem andern einbeschriebene polygon, J. Reine Angew. Math., 64, 126-166, (1865) · ERAM 064.1669cj |
| [87] | Rosanes, Jacob; Pasch, Moritz, Ueber eine algebraische aufgabe, welche einer gattung geometrischer probleme zu grunde liegt, J. Reine Angew. Math., 70, 169-174, (1869) · JFM 02.0505.04 |
| [88] | Schoute, Pieter Hendrik, Die steinerschen polygone, J. Reine Angew. Math., 95, 105-119, (1883), 200, 317-324 |
| [89] | Schröter, Heinrich, Die theorie der ebenen kurven dritter ordnung, (1888), Teubner Leipzig · JFM 20.0631.03 |
| [90] | Schur, Friedrich, Ueber eine besondere classe von flächen vierter ordnung, Math. Ann., 20, 254-296, (1882) · JFM 14.0564.01 |
| [91] | Serret, Paul, Note sur deux suites récurrentes de cercles et de sphères, Nouv. Ann. Math. 2nd ser., 1, 184-187, (1862) |
| [92] | Simon, Max, De relationibus inter constantes duarum linearum secundi ordinis, ut sit polygonum alteri inscriptum circumscriptum alteri, (1867), Driesner Berlin |
| [93] | Simon, Max, Ganzzahlige multiplication der elliptischen functionen in verbindung mit dem schliessungsproblem, J. Reine Angew. Math., 81, 301-323, (1876) · JFM 08.0273.01 |
| [94] | Simon, Max, Über die entwicklung der elementar-geometrie im XIX. jahrhundert, (1906), Teubner Leipzig · JFM 37.0046.01 |
| [95] | Snyder, John P., Flattening the Earth: two thousand years of map projections, (1993), The University of Chicago Press Chicago, London |
| [96] | Staude, Otto, Ueber geodätische polygone auf den flächen 2. grades, Math. Ann., 21, 219-252, (1883) · JFM 15.0694.01 |
| [97] | Staude, Otto, Flächen 2. ordnung und ihre systeme und durchdringungskurven, (Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, vol. III. C. 2, (1904), Teubner Leipzig), 161-256 · JFM 35.0635.03 |
| [98] | Steiner, Jacob, Einige geometrische betrachtungen, J. Reine Angew. Math., 1, 161-184, (1826), 252-288 · ERAM 001.0020cj |
| [99] | Steiner, Jacob, Geometrische aufgaben und lehrsätze, J. Reine Angew. Math., 2, 96-98, (1827) · ERAM 002.0051cj |
| [100] | Steiner, Jacob, Questions proposées. théorèmes de géométrie, Ann. Math. Pures Appl., 18, 378-380, (1827-1828) |
| [101] | Steiner, Jacob, Geometrische lehrsätze, J. Reine Angew. Math., 32, 182-184, (1846) · ERAM 032.0916cj |
| [102] | Taylor, Henry Martyn, On the porism of the ring of circles touching two circles, Messenger Math., 7, 148-150, (1878) · JFM 10.0361.03 |
| [103] | Thomae, Karl Johannes, Ueber den zusammenhang zwischen den Steiner’schen und den Poncelet’schen polygonen, Ber. Verh. Königl.-Sächs. Ges. Wiss. Leipzig, 47, 352-374, (1895) · JFM 26.0620.01 |
| [104] | Tobies, Renate, Mathematik als bestandteil der kultur: zur geschichte des unternehmens encyklopädie der mathematischen wissenschaften mit einschluss ihrer anwendungen, Mitt. Österreich. Ges. Wissenschaftsgesch., 14, 1-90, (1994) |
| [105] | Tweddle, Ian, Simson on porisms: an annotated translation of robert Simson’s posthumous treatise on porisms and other items on this subject, (2000), Springer London · Zbl 0946.01001 |
| [106] | Vahlen, Theodor, Ueber Steiner’sche kugelketten, Z. Math. Phys., 41, 153-160, (1896) · JFM 27.0445.01 |
| [107] | Vitrac, Bernard, Euclide: LES éléments. vol. 1. introduction générale, livres I à IV, (1990), Presses Universitaires de France Paris |
| [108] | Volkert, Klaus, MAX Simon als historiker und didaktiker der Mathematik, (Schönbeck, Jürgen; Struve, Horst; Volkert, Klaus, Der Wandel im Lehren und Lernen von Mathematik und Naturwissenschaften, Mathematik, vol. 1, (1994), Deutschen Studien Verlag Weinheim) |
| [109] | Wardhaugh, Benjamin, Greek mathematiks in English: the work of sir Thomas L. heath (1861-1940), (Remmert, Volker; Schneider, Martina; Sørensen, Henrik Kragh, Historiography of Mathematics in the 19th and 20th Centuries, (2016), Birkhäuser Basel), 109-122 · Zbl 1414.01006 |
| [110] | Weyr, Eduard, Ueber einige Sätze von Steiner und ihren zusammenhang mit der zwei und zweigliedrigen verwandtschaft der grundgebilde ersten grades, J. Reine Angew. Math., 71, 18-28, (1870) · JFM 02.0378.01 |
| [111] | Weyr, Eduard, Zusatz zu dem aufsatze ‚ueber einige Sätze von Steiner und ihren zusammenhang mit der zwei und zweigliedrigen verwandtschaft der grundgebilde ersten grades‘, J. Reine Angew. Math., 73, 87-93, (1871) · JFM 03.0418.01 |
| [112] | Weyr, Emil, Über funfecke, welche einer \(C_3\) gleichzeitig ein- und umgescrhieben sind, Monatsh. Math. Phys., 4, 120, (1893) · JFM 25.1005.02 |
| [113] | White, Henry S., Triangles and quadrilaterals inscribed in a conic and circumscribed to a conic, Ann. Math., 7, 4, 172-176, (1906) · JFM 37.0609.04 |
| [114] | Wittgenstein, Ludwig, Philosophical investigations. English translation by gertrude elizabeth anscombe, (1953), Basil Blackwell Oxford |
| [115] | Wolstenholme, Joseph, On a certain system of trigonometrical equations, with applications to the porisms of two coaxal conics, Q. J. Pure Appl. Math., 10, 356-368, (1870) · JFM 02.0496.03 |
| [116] | Zacharias, Max, Elementargeometrie und elementare nicht-euklidische geometrie in synthetischer behandlung, (Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. vol. III A B 9, (1913), Teubner Leipzig), 859-1172 |
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.
