Unter Zugrundelegung isotroper Parameterlinien ist für die gesuchten Flächen \(\dfrac{\partial^2J}{\partial u\partial v}=0\), wenn mit \(J\) die mittlere Krümmung bezeichnet wird. Die Mainardi-Codazzischen Gleichungen und das theorema egregium von Gauß führen auf die partielle Differentialgleichung \[ \begin{split} \left(\varphi'(u)\frac{\partial\varGamma}{\partial u}+\lambda(u)\right) \left(\psi'(v)\frac{\partial\varGamma}{\partial v}+\mu(v)\right)\\ =\left(\frac{\partial^2\varGamma}{\partial u\partial v}\right)^2 \left(\varphi(u)^2+\psi(v)^2\right)+ \frac{\partial^2\varGamma}{\partial u\partial v}\cdot \frac{\partial^2}{\partial u\partial v} \left(\lg\frac{\partial^2\varGamma}{\partial u\partial v}\right), \end{split} \tag{1} \] wo \(\varphi(u)\), \(\psi(v)\), \(\lambda(u)\), \(\mu(v)\) willkürliche Funktionen der Argumente sind. Für die abwickelbaren Flächen wird \(\varGamma=\xi(u) \eta(v)\), und man erhält aus (1) eine Funktionalgleichung, die für \(\psi=c\), \(\lambda=0\) unmittelbar lösbar ist (sie hätte sich übrigens auch allgemein lösen lassen); alle derartigen reellen abwickelbaren Flächen werden auf direktem Wege bestimmt. Daß Rotationsflächen zu den gesuchten Flächen gehören, dafür ist notwendig und hinreichend, daß \(M=0\) ist, d. h. die Kurven \(J=\operatorname{const}\) Krümmungslinien sind. Flächen der gesuchten Art, auf denen die Kurven \(J=\operatorname{const}\) isogonale Trajektorien der Krümmungslinien sind, sind nur die Rotationsflächen. Ferner werden die Eigenschaften der Invarianten der gesuchten Flächen und ihre Darstellung untersucht und die Gleichungen der Asymptotenlinien und Krümmungslinien damit dargestellt.