\(\varrho(n, g)\) sei die Anzahl der linear-unabhängigen ganzen Modulformen \(n\)-ten Grades von der Dimension \(- g\). \(\varrho(1, g)\) ist elementar bestimmbar. Nach Siegel gilt \(\varrho(n, g) < C_ng^n\) mit einer nur von \(n\) abhängigen Konstanten \(C_n\). Verf. betrachtet den Fall \(n = 2\) und beweist hier \[ \varrho(2,2) = 0,\;\varrho(2, 4) = 1,\;\varrho(2, 6)\leqq2,\;\varrho(2, 8)\leqq3, \tag{1} \] ferner die Identität \[ ({\sum}|\mathfrak A\mathfrak Z-\mathfrak B|^{-4})^{2}= {\sum}|\mathfrak A\mathfrak Z-\mathfrak B|^{-8}, \tag{2} \] wo \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) ein volles System von Klassenvertretern zweireihiger teilerfremder symmetrischer Matrizenpaare durchlaufen und \(\mathfrak Z\) eine zweireihige symmetrische Matrix mit positivem Imaginärteil bezeichnet. (2) ist die Verallgemeinerung der als \(g_2^2 = g_4\) bekannten Identität für Eisensteinreihen einer Variablen.
Diese Ergebnisse hängen mit der Theorie der positiven geraden quadratischen Formen \(\mathfrak S_m\) in \(m\) Variablen von der Determinante Eins zusammen. Die \(\mathfrak S_m\) bilden bei festem \(m\) ein Geschlecht. \(m\) ist notwendig durch 8 teilbar, und diese Bedingung ist für die Existenz auch hinreichend, da Minkowski ein \(\mathfrak S_8\) explizit angegeben hat und man für höheres \(m\) direkte Summen mit den Summanden \(\mathfrak S_8\) bilden kann. Sei \(h_m\) die zugehörige Klassenzahl. Mordell bewies \(h_8=1\), Verf. beweist \(h_{16}=2\) und gibt die beiden Klassen explizit an. Aus der Siegelschen Theorie hatte ferner Schoeneberg geschlossen, daß \(h_{24}\geqq2\) ist. Verf. fand durch Rechnung \(h_{24}\geqq10\). Dieses Resultat besagt eine wesentliche Einschränkung für die Bedeutung der Thetareihen in einer Variablen. Denn diese sind für \(m = 24\) sämtlich ganze Modulformen mit \(n =1\), \(g = 12\), es ist \(\varrho(1,12)=2\) und daher unmöglich, die Klassen quadratischer Formen durch die Eigenschaften der Darstellungsanzahlen zu trennen. Besonders deutlich zeigt sich dies bereits für \(m = 16\), indem zwei inäquivalente Formen \(\mathfrak S_8 + \mathfrak S_8\) und \(\mathfrak S_{16}^*\) bestimmt werden, die jede Zahl gleich oft darstellen. Die hier gewonnenen Strukturaussagen über die den Formen \(\mathfrak S_{16}\) entsprechenden Vektordiagramme lassen einen arithmetischen Grund dieses funktionentheoretischen Sachverhalts nicht erkennen.
Die Beweisschritte sind kurz folgende: Zunächst wird die Siegelsche Abschätzung \(\varrho(n,g)\leqq C_ng^n\) erneut nach einem etwas abgeänderten Verfahren erwiesen. Dann wird gezeigt, daß eine ganze Modulform \(\varphi(\mathfrak Z)\) zweiten Grades mit \(g = 2\), 4, 6, 8 identisch verschwindet, wenn ihre Fourierkoeffizienten \(a(\mathfrak T)\) für die halbganzen Matrizen \[ \mathfrak T=\binom{0\;0}{0\;0} (g\geqq4);\quad \binom{1\;0}{0\;1} (g\geqq6);\quad \binom{1\;0}{0\;2} (g=8) \] verschwinden. Hierauf folgt eine Diskussion der Vektordiagramme, die mit den quadratischen Formen \(\mathfrak S_m\) zusammenhängen. Dabei ergibt sich \(h_8 = 1\), \(h_{16}=2\) und die explizite Bestimmung der Klassenvertreter \(\mathfrak S_8 + \mathfrak S_8\) und \(\mathfrak S_{16}^*\). Die Koeffizienten der verallgemeinerten Eisensteinreihen von Siegel erweisen sich sämtlich als gleich Eins, und dies führt einerseits zu der Erkenntnis, daß die Matrizen \(\mathfrak S_8 + \mathfrak S_8\) und \(\mathfrak S_{16}^*\) jede zweireihige Matrix gleich oft darstellen, andrerseits zum Beweise der Identität (2).
Den Schluß bildet ein Anhang, in dem einige wichtige und nützliche Sätze über die Modulfunktionen und die Modulgruppe \(n\)-ten Grades begründet werden.