Für einen dreidimensionalen konvexen Körper der konstanten Breite \(2d\) gelten nach W. Blaschke (Ber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, math.-physische Kl. 67 (1915), 290-297; F. d. M. 45, 731 (JFM 45.0731.*)) die Gleichungen: \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill M=4\pi d,\quad V=Od-\frac{8\pi }{3} d^3.\hfill} \] Ihre Verallgemeinerung auf \(n\)-dimensionale konvexe Körper \(K\) konstanter Breite \(2d\) sieht so aus: Es sei \(W_0(K)\) bzw. \(W_0(K+ hS)\) das Volumen von \(K\) bzw. des Parallelkörpers von \(K\) im Abstände \(h\); dann werden die Quermaßintegrale \(W_{\nu }\) von \(K\) durch die Entwicklung \[ W_0(K+hS)=\textstyle \sum\limits_{\nu =0}^{n}{n\choose \nu }\,W_\nu h^\nu \] definiert. Ist nun \(q\leqq \nu \) eine ungerade Zahl, so gilt für die genannten Körper \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill 2\,W_{n-q} =\textstyle \sum\limits_{\nu =0}^{q-1}\;(-1)^\nu 2^{q-\nu }{q\choose \nu }d^{q-\nu }\,W_{n-\nu }\hfill} \] als Verallgemeinerung von (1). Beweis einfach, wenn die \(W_{\nu }\) durch die Hauptkrümmungsradien von \(K\) ausgedrückt werden.
Durch Kombination von (1) und der elementaren Ungleichung \(O\leqq 4\pi d^2\) ergibt sich \(V\leqq \dfrac{4\pi }{3}\,d^3\) und damit der Bieberbachsche Satz, daß unter allen Flächen konstanter Breite die Kugel das größte Volumen einschließt und die größte Oberfläche besitzt.