Verallgemeinerung eines Blaschkeschen Satzes über konvexe Körper konstanter Breite. (German) JFM 66.0911.01
Rev. math. Un. interbalkanique 3, 17-20 (1940).
Für einen dreidimensionalen konvexen Körper der konstanten Breite \(2d\) gelten nach W. Blaschke (Ber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, math.-physische Kl. 67 (1915), 290-297; F. d. M. 45, 731 (JFM 45.0731.*)) die Gleichungen:
\[
\displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill M=4\pi d,\quad V=Od-\frac{8\pi }{3} d^3.\hfill}
\]
Ihre Verallgemeinerung auf \(n\)-dimensionale konvexe Körper \(K\) konstanter Breite \(2d\) sieht so aus: Es sei \(W_0(K)\) bzw. \(W_0(K+ hS)\) das Volumen von \(K\) bzw. des Parallelkörpers von \(K\) im Abstände \(h\); dann werden die Quermaßintegrale \(W_{\nu }\) von \(K\) durch die Entwicklung
\[
W_0(K+hS)=\textstyle \sum\limits_{\nu =0}^{n}{n\choose \nu }\,W_\nu h^\nu
\]
definiert. Ist nun \(q\leqq \nu \) eine ungerade Zahl, so gilt für die genannten Körper
\[
\displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill 2\,W_{n-q} =\textstyle \sum\limits_{\nu =0}^{q-1}\;(-1)^\nu 2^{q-\nu }{q\choose \nu }d^{q-\nu }\,W_{n-\nu }\hfill}
\]
als Verallgemeinerung von (1). Beweis einfach, wenn die \(W_{\nu }\) durch die Hauptkrümmungsradien von \(K\) ausgedrückt werden.
Durch Kombination von (1) und der elementaren Ungleichung \(O\leqq 4\pi d^2\) ergibt sich \(V\leqq \dfrac{4\pi }{3}\,d^3\) und damit der Bieberbachsche Satz, daß unter allen Flächen konstanter Breite die Kugel das größte Volumen einschließt und die größte Oberfläche besitzt.
Durch Kombination von (1) und der elementaren Ungleichung \(O\leqq 4\pi d^2\) ergibt sich \(V\leqq \dfrac{4\pi }{3}\,d^3\) und damit der Bieberbachsche Satz, daß unter allen Flächen konstanter Breite die Kugel das größte Volumen einschließt und die größte Oberfläche besitzt.
Reviewer: Geppert, H., Prof. (Berlin)