Sei die Funktion \[ f(z) = a_0+a_1z + a_2z^2+\cdots,\qquad |a_n|=\alpha_n, \] im Einheitskreis absolut kleiner als Eins. Für diese Beschränktheit leitet Verf. notwendige Bedingungen her, die im Gegensatz zum Schurschen notwendigen und hinreichenden Determinantenkriterium eine einfachere Struktur besitzen. Mit Hilfe von Integralen der Form \[ I=\frac1{2\pi i}\oint f(\zeta)(1+\mu_0\zeta^{n+1}+\mu_1\zeta^{n+2}+\cdots+ \mu_n\zeta^{2n+1})^2\cdot\frac{d\zeta}{\zeta^{2n+2}} \] und anderen beweist Verf., daß
A) \(\alpha_{2n+1}\leqq 1-\alpha_0^2-\alpha_1^2-\cdots-\alpha_n^2\), \(n=0,1,2,\ldots\),
B) \(\alpha_{2n}\phantom{_{+1}} \leqq 1-\alpha_0^2-\alpha_1^2-\cdots-\alpha_{n-1}^2 -\dfrac{\alpha_n^2}{1+\alpha_0}\), \(n=1,2,\ldots\),
C) \(\alpha_n^2\phantom{_{2+1}} \leqq(1-\alpha_0^2)(1-\alpha_0^2-\alpha_1^2-\cdots-\alpha_{n-1}^2)\), \(n=1,2,\ldots\).
Zugleich bestimmt er jene Funktionen, die in A) bzw. B) bzw. C) Gleichheit liefern. Es ergeben sich mannigfache Folgerungen und Modifikationen. Z. B.: Gilt in C) das Gleichheitszeichen für \(n=p\), so auch für \(n = 2p, 3p,\ldots\). Gilt es für zwei teilerfremde Zahlen \(n\), so ist \(f(z)=\dfrac{a_0-z}{1-\overline{a}_0z}\).