Eine vierdimensionale Riemannsche Geometrie sei so beschaffen, daß die Feldgleichungen für den metrischen Tensor aus einem Wirkungsprinzip ableitbar sind: \(\delta\int Id\tau = 0\). Damit wird das Problem, die Geometrie zu charakterisieren, auf die Bestimmung einer fundamentalen Invariante \(I\) zurückgeführt. Zur weiteren Einschränkung soll \(I\) eine algebraische und zwar im Hinblick auf die zu fordernde Invarianz des Wirkungsintegrals bei Maßstabsänderungen (\(\bar g_{ik} = \lambda g_{ik}\) mit konstantem \(\lambda\)) speziell eine quadratische Funktion der Komponenten des Riemann-Christoffelschen Krümmungstensors sein.
Verf. gibt fünf Invarianten mit diesen Eigenschaften an: \[ \begin{matrix}\l\\ I_1 = R_{ik}R^{ik};\quad I_2=R\cdot R;\quad I_3= R_{iklm}R^{iklm}\\ \\ K_1 = R_{iklm}R_{pqrs}g^{pi}g^{qk}\varepsilon^{rslm}\\ \\ K_2 = R_{iklm}R_{pqrs}\varepsilon^{pqik}\varepsilon^{rslm}\\ \end{matrix} \] \(\bigg(e^{iklm}\;\text{ist der alternierende Fundamentaltensor mit den Komponenten}\;0, \pm\dfrac1{\sqrt g}\bigg)\).
Diese sind jedoch linear abhängig: \(K_2 = I_3 - 4I_1 + I_2\). Ferner liefern die Invarianten \(K_1\), \(K_2\) keinen Beitrag zu den Feldgleichungen wegen \(\delta\int K_\alpha d\tau = 0\) (bei fester Berandung). Das allgemeinste Wirkungsprinzip dieser Art erhält somit die Gestalt: \(\delta \int(I_1 + cI_2)d\tau = 0\), wobei \(R_{iklm}\) nur in der gefalteten Form \(R_{ik}\) auftritt.