Verf. überträgt einen Satz aus Minkowskis “Diophantischen Approximationen” (1907; F. d. M. 38, 220 (JFM 38.0220.*)) auf den Gaußschen Zahlkörper \(k(i)\). Er beweist:
Ist \(f(x,y)=(\alpha x + \beta y -\xi_0) (\gamma x + \delta y - \eta_0)\) eine nicht homogene zerlegbare Form mit \(\alpha\delta -\beta\gamma=1\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), \(\xi_0\), \(\eta_0\) beliebig komplex, so existieren ganze Zahlen \(x\), \(y\) aus \(k(i)\) mit \[ |f(x,y) | \leqq \tfrac 12. \] Das Gleichheitszeichen ist dann und nur dann nötig, wenn die Form arithmetisch äquivalent ist zur Form \[ (x - \tfrac 12(1 + i)((y-\tfrac 12(1 + i)). \] Liegt \(\dfrac \alpha\beta\) nicht in \(k(i)\), so befriedigen unendlichviele Paare \(x\), \(y\) die Ungleichung, und es läßt sich gleichzeitig noch \(\alpha x + \beta y -\xi_0\) beliebig klein machen.
Verf. zeigt zunächst, daß zu beliebigen komplexen \(p\), \(q\) stets eine ganze Zahl \(z\) aus \(k(i)\) existiert, so daß \(|z-p|\cdot |z-q|\leqq \max \left(\dfrac{\sqrt 5}4, \dfrac{|p-q|}{\sqrt 2}\right)\) gilt. Zusammen mit einem zweiten Hilfssatz, dessen Beweis auf einer Perron-Fordschen Abschätzung beruht, liefert das den Satz. Es wird gezeigt, daß \(\frac 12\) die bestmögliche Schranke ist.