Es sei \(F (x; \alpha,\beta)\) im Intervall \(a< x< b\) eine gegebene zweiparametrige Schar reeller Funktionen mit folgenden beiden Eigenschaften: a) jedes \(F(x,\alpha,\beta)\) ist eine stetige Funktion von \(x\); b) zu je zwei Punkten \(x_1, y_1\) und \(x_2, y_2\) mit \(x_1< x_2\) gibt es genau eine Kurve der Schar, die durch diese beiden Punkte hindurchgeht. Eine reelle Funktion \(f (x)\) heißt in bezug auf diese Schar eine Subfunktion, wenn es zu je zwei Stellen \(a < x_1 < x_2 < b\) eine Funktion \(F_{12}(x)\) der Schar gibt, für die \(F_{12}(x_1) = f(x_1)\) \(F_{12}(x_2) = f(x_2)\) und \(f(x)\leqq F_{12}(x)\) für \(x_1 < x < x_2\) ist. (Wird als Kurvenschar, \(F (x; \alpha,\beta)\) die Menge aller geraden Linien gewählt, die nicht parallel zur \(y\)-Achse sind, so sind die Subfunktionen gerade die nach unten konvexen Funktionen.) Nach Herleitung einiger Eigenschaften der Funktionen \(F (x; \alpha, \beta)\) wird gezeigt: Jede Subfunktion ist stetig (im Gegensatz zu der Klasse der konvexen Funktionen jedoch im allgemeinen nicht fast überall differenzierbar). Eine stetige Funktion ist genau dann eine Subfunktion einer gegebenen Schar \(F (x; \alpha, \beta)\), wenn es zu jedem \(x_0\) beliebig kleine positive Zahlen \(\delta\) gibt, so daß \(f(x_0) \leqq F_{12}(x_0)\) für \(x_1 = x_0 - \delta\), \(x_2=x_0+\delta\) ist.