Höhere Algebra. II: Gleichungen höheren Grades. (German) JFM 63.0094.03
2. Aufl. 158 S. Berlin, Walter de Gruyter & Co. (Sammlung Göschen, Nr. 932.) (1937).
Das Buch, dessen erste Auflage (1927; F. d. M. 53, 111 (JFM 53.0111.*)) insofern bahnbrechend war, als darin zum ersten Male die Steinitzsche Körpertheorie folgerecht in einem Lehrbuch durchgeführt wurde, erscheint nunmehr in zweiter Auflage. Der beispiellose Fortschritt der letzten Jahrzehnte in einem so alten Gebiet, wie es die Algebra ist, mußte naturgemäß auch auf die Neuausgabe wirken.
Die Gliederung blieb dieselbe: I. Die linken Seiten algebraischer Gleichungen. II. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. III. Die Körper der Wurzeln algebraischer Gleichungen. IV. Die Struktur der Wurzelkörper algebraischer Gleichungen. V. Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Wurzelzeichen.
Abschnitt I ist fast unverändert.
In Abschnitt II, §6 sind die Begriffe separable und inseparable Polynome neu hinzugekommen. Demnach sind die vollkommenen Körper als solche mit durchweg separablen Polynomen definiert.
In Abschnitt III wird die Steinitzsche Theorie behandelt. Abgesehen von einigen Änderungen der Reihenfolge ist zuächst in §7 der Unterschied gegen die erste Auflage, daß parallel mit den Sätzen über algebraische Erweiterungen die über separable algebraische Erweiterungen behandelt werden. §9 (einfache und endliche algebraische Erweiterungen) ist sehr gewachsen durch Aufnahme des Kriteriums über Separabilität und weitere Sätze. Wie in der ersten Auflage ist der Fundamentalsatz der Algebra als nicht algebraischer, sondern funktionentheoretischer Satz nur erwähnt, nicht bewiesen.
Abschnitt IV bringt die Galoissche Theorie, deren Aufbau, Inhalt und Ziel wohl nur mit Hilfe der Steinitzschen Theorie leicht erfaßt werden kann. Hier wird (§12) die Einfachheit und Separabilität jeder endlichen algebraischen Erweiterung mit separablem primitivem Elementsystem bewiesen, während früher der Grundkörper als vollkommen vorausgesetzt wurde. Dieser Unterschied zieht sich auch noch weiter hin. Sonst sind die folgenden Paragraphen im wesentlichen unverändert, doch ist auch hier die bessernde Hand des Verf. vielfach zu sehen, z. B. in der Bemerkung nach Satz 97. Neu ist Satz 103.
Im Abschnitt V sind die Änderungen weniger grundlegend, immerhin ist z. B. Satz 122 schärfer gefaßt. Hinzugekommen ist ein kurzer Abriß der Theorie der endlichen Körper.
Aus all dem Gesagten ergibt sich, wie sehr sich der Verf. bemüht hat, den modernsten Standpunkt einzunehmen, unbeschadet dessen, daß die erste Auflage der damals modernsten Algebra entsprach.
Die Gliederung blieb dieselbe: I. Die linken Seiten algebraischer Gleichungen. II. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen. III. Die Körper der Wurzeln algebraischer Gleichungen. IV. Die Struktur der Wurzelkörper algebraischer Gleichungen. V. Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Wurzelzeichen.
Abschnitt I ist fast unverändert.
In Abschnitt II, §6 sind die Begriffe separable und inseparable Polynome neu hinzugekommen. Demnach sind die vollkommenen Körper als solche mit durchweg separablen Polynomen definiert.
In Abschnitt III wird die Steinitzsche Theorie behandelt. Abgesehen von einigen Änderungen der Reihenfolge ist zuächst in §7 der Unterschied gegen die erste Auflage, daß parallel mit den Sätzen über algebraische Erweiterungen die über separable algebraische Erweiterungen behandelt werden. §9 (einfache und endliche algebraische Erweiterungen) ist sehr gewachsen durch Aufnahme des Kriteriums über Separabilität und weitere Sätze. Wie in der ersten Auflage ist der Fundamentalsatz der Algebra als nicht algebraischer, sondern funktionentheoretischer Satz nur erwähnt, nicht bewiesen.
Abschnitt IV bringt die Galoissche Theorie, deren Aufbau, Inhalt und Ziel wohl nur mit Hilfe der Steinitzschen Theorie leicht erfaßt werden kann. Hier wird (§12) die Einfachheit und Separabilität jeder endlichen algebraischen Erweiterung mit separablem primitivem Elementsystem bewiesen, während früher der Grundkörper als vollkommen vorausgesetzt wurde. Dieser Unterschied zieht sich auch noch weiter hin. Sonst sind die folgenden Paragraphen im wesentlichen unverändert, doch ist auch hier die bessernde Hand des Verf. vielfach zu sehen, z. B. in der Bemerkung nach Satz 97. Neu ist Satz 103.
Im Abschnitt V sind die Änderungen weniger grundlegend, immerhin ist z. B. Satz 122 schärfer gefaßt. Hinzugekommen ist ein kurzer Abriß der Theorie der endlichen Körper.
Aus all dem Gesagten ergibt sich, wie sehr sich der Verf. bemüht hat, den modernsten Standpunkt einzunehmen, unbeschadet dessen, daß die erste Auflage der damals modernsten Algebra entsprach.
Reviewer: Holzer, L., Dr. (Wien)
