In der Gruppe derjenigen geschlossenen Zöpfe mit \(n\) Fäden, die Verkettungen von \(n\) Kurven darstellen (vgl. Burau, Abh. math. Sem. Hamburgische Univ. 9 (1932), 117-124; F. d. M. 58\(_{\text{I}}\), 614), bilden diejenigen Zöpfe, die nach Entfernung des \(k\)-ten Fadens (\(k\) fest) in ein System von \(n - 1\) unverketteten Kurven übergehen, eine Untergruppe \(\mathfrak{U}_{kn}\), die \(\mathfrak{U}_{kn}\) \((k = 1,\ldots \!, n)\) eine Klasse konjugierter Untergruppen. Jede \(\mathfrak{U}_{kn}\) ist eine freie Gruppe mit \(n - 1\) Erzeugenden \(S_{ik}\,(i < k)\) und \(S_{ki}\,(i > k)\), deren Ausdrücke in den Erzeugenden \(\sigma_l\) der Zopfgruppe angegeben werden (vgl. auch Burau, a. a. O.). Die Freiheit der Gruppe erkennt man am einfachsten, wenn man den Zopf so deformiert, daß (abgesehen von den zur Schließung erforderlichen Verbindungen, die nicht mehr zur Verkettung beitragen sollen) die Fäden mit von \(k\) verschiedenem Index in parallele Strecken, “Stäbe”, \(R_i\, (i \neq k)\) übergehen, während der \(k\)-te Faden \(L\), mit zwei Teilstrecken einer zu den Stäben parallelen Strecke beginnend und endend, in seinem Verlauf die Stäbe irgendwie umschlingt. Bei Projektion auf die zur Stabrichtung senkrechte Ebene gehen die \(R_i\) in Punkte \(r_i\) \(L\) in eine in einem Punkt \(p\) (Projektion der Anfangs- und Endstrecke) beginnende und endende Kurve \(K\) der in den \(r_i\) gelochten Ebene über, und umgekehrt entspricht jeder solchen \(K\) in bestimmter Weise eine \(L\) (die \(S_{ik}\) und \(S_{ki}\) ergeben, projiziert, die einzelnen Umläufe um die \(r_i\)). Das Wortproblem in \(\mathfrak{U}_{kn}\) ist in den \(S_{ik}\) und \(S_{ki}\) das der freien Gruppe, läßt sich aber auch in den \(\sigma_l\) einfach lösen. Bei Transformation des Zopfes ändert sich die Ordnung von \(r_i\) in bezug auf \(K\) nicht (wenn man entsprechende \(r_i\) vor und nach der Transformation mit gleichem Index bezeichnet). – Ein Punkt \(r_i\) bzw. der entsprechende Stab \(R_i\) heiße frei, wenn \(r_i\) in bezug auf \(K\) mit dem Unendlichen verbunden werden kann (Verf. gibt eine andere wohl sachlich hiermit übereinstimmende Definition); notwendig, aber nicht hinreichend für Freiheit von \(r_i\) ist, daß \(r_i\) in bezug auf \(K\) die Ordnung 0 hat. Mit Hilfe gewisser Erzeugendenaus drücke (in den \(\sigma_l\)), denen Kurven entsprechen, bei denen ein \(r_i\) in einer bestimmten Richtung “unbehindert” ist, gelangt Verf. zu einem endlichen Verfahren, über die Freiheit von \(r_i\) zu entscheiden, wenn das Wort des Zopfes (als Normalform in den \(\sigma_l\)) gegeben ist.