Das Nevanlinnasche Werk gibt eine, von neuem Standpunkte aus einheitlich aufgebaute zusammenfassende Darstellung eines weiten Gebietes der Funktionentheorie, welches seit dem Eingreifen des Verf. – also seit etwa 15 Jahren – eine an Hauptpunkten durch seine eigenen Gedanken und Erfolge geförderte rasche und ungemein fruchtbare Entwicklung erfahren hat. Einerseits handelt es sich (dem Stoffe nach) um die Wertverteilungslehre, der im wesentlichen die zweite Hälfte des Buches gewidmet ist, andererseits aber um die Grenzgebiete von Potential- und Funktionentheorie, die wir hier als Theorie des harmonischen Maßes zusammenfassend bezeichnen wollen. Diese Theorie verspricht vom methodischen Standpunkte aus (wie die Arbeiten zahlreicher Verf. aus jüngster Zeit erkennen lassen) noch vielseitige Anwendungsmöglichkeiten zur Vereinheitlichung, Verschärfung und Fortführung funktionentheoretischer Untersuchungen. Der Verf. gibt hier ihre erste eingehende und planmäßig vollständige Darstellung. Er selbst hat ihre Grundgedanken seit seinen ersten Arbeiten im Auge gehabt und zielbewußt ausgebaut; aber auch viele andere Forscher haben wesentliche Gedanken – oft in Arbeiten über Einzelfragen speziell gefaßt – dazu beigetragen.
Die harmonische Maßtheorie dient in zahlreichen Wertverteilungsfragen als methodisches Hilfsmittel; sie ist darum vorweggenommen und in der ersten Hälfte des Werkes entwickelt. Hier findet man aber auch eine Theorie des Dirichletschen Problems für allgemeinste schlichte Gebiete, welche die Ergebnisse der Methoden von Wiener und de la Vallée Poussin hier auf einem neuen Wege, mit Methoden der konformen Abbildung, auf den Fall des Problems für den Einheitskreis zurückführt; das Entscheidende ist dabei eine hier erstmalig entwickelte Theorie der Ränderzuordnung für Gebiete von beliebigem Zusammenhang bzw. beliebigem Rand, für den Fall der Abbildung ihrer universellen, regulär verzweigten Überlagerungsfläche in den Einheitskreis.
Von der Wertverteilungslehre gibt der Verf. eine -gegenüber seiner früheren Darstellung (Le théorème de Picard-Borei et la théorie des fonctions méromorphes, 1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 773-775) sehr stark veränderte Form; zahlreiche Fortschritte von ihm und seinen Schülern erlaubten in wesentlichen Punkten vertiefte Einsichten.
Der erste Teil des Werkes entwickelt die Theorie des harmonischen Maßes als eine funktionentheoretische Methodenlehre von größter Tragweite: Ein (beliebig zusammenhängendes) Gebiet \(G\) habe den Rand \(\varGamma\); \(\gamma\) sei eine Teilmenge des Randes, \(z\) ein innerer Punkt; unter dem harmonischen Maß \(\omega (z, \gamma, G)\) von \(\gamma\) in bezug auf das Gebiet \(G\) und im Punkte \(z\) versteht man dann den Wert jener in \(G\) beschränkten harmonischen Funktion, welche in den Punkten von \(\gamma\) die Randwerte 1, in denen von \(\varGamma - \gamma\) die Randwerte 0 besitzt. Um diese Funktion herzustellen, wird \(G\) bzw. bei mehrfachem Zusammenhang von \(G\) dessen einfachzusammenhängende universelle Überlagerungsfläche \(\overline{G}\) schlicht in den Einheitskreis \(E\) abgebildet, wobei \(\gamma\) bzw. der über \(\gamma\) liegenden Randmannigfaltigkeit \(\overline{\gamma}\) von \(\overline{G}\) eine gewisse Randpunktmenge \(\gamma^\prime\) von \(E\) entspricht, wo die Randwerte 1 vorgeschrieben sind. Dann wird die Konstruktion der beschränkten harmonischen Funktion in \(E\) mittels des Poissonschen Integrals möglich, sofern \(\gamma^\prime\) im Lebesgueschen Sinne meßbar ist; \(\gamma\) heißt dann harmonisch meßbar. Offenbar wird an dieser Stelle die oben schon erwähnte Theorie der Ränderzuordnung entscheidend wichtig; auf entsprechendem Wege gelingt die Lösung auch des allgemeineren Dirichletschen Problems.
Das harmonische Maß ist nach dieser Definition gegen eineindeutige konforme Abbildung invariant (daher sprechen andere Autoren auch von konformem Maß (Ostrowski) oder funktionentheoretischem Maß (Hössjer); Beurling bezeichnet den Begriff als masse angulaire). Es erfährt jeoch bei eindeutigen, aber nicht umkehrbar eindeutigen (sogenannten mehrwertigen) Abbildungen i. a. eine Vergrößerung. Der Kernpunkt für die Anwendungen des harmonischen Maßes ist das Prinzip vom harmonischen Maß, welches diesen Sachverhalt scharf und in großer Allgemeinheit erfaßt (S. 38).
Schon auf dieser Stufe ergeben sich Anwendungen, die zu wichtigen klassischen Sätzen der Funktionentheorie führen und sie aus einer und derselben Wurzel herzuleiten erlauben: Zweikonstantensatz, Dreikreisesatz, Satz von Phragmén-Lindelöf, die Verschärfungen des Schwarzschen Lemmas und der Sätze von Löwner und Julia – wo nichteuklidische Sprechweise mit Hilfe eines Begriffes “Hyperbolisches Maß” sowohl zur Klärung als auch zu weiter Verallgemeinerung führt. Endlich ergeben sich hier die Sätze von Landau und Schottky sowie die klassischen Aussagen von Lindelöf über Verbundenheit und Getrenntheit von Zielwegen mit numerisch gleichen Zielwerten bei Annäherung an eine isolierte wesentliche Singularität.
Eine wesentliche Vertiefung gelingt dann auf Grund allgemeiner Methoden zur Abschätzung des harmonischen Maßes einerseits auf Grund des Carlemanschen Prinzips von der Gebietserweiterung und der Zurückführung auf besondere Konfigurationen – hierher gehört als Hilfsmittel der Ahlforssche Randverzerrungssatz und als Anwendung der Koebesche Innenverzerrungssatz; es muß betont werden, daß dieser – einschließlich des genauen Wertes der Koebeschen Konstanten – hier erstmalig aus dem Ahlforsschen Satze gewonnen werden kann. Andererseits können gewisse allgemein gültige Minoranten des harmonischen Maßes gewonnen werden, wie sie als bekanntestes Beispiel der Millouxsche Satz liefert (vgl. hierzu auch Beurling, Etudes sur un problème de majoration, 1933; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1042).
Der fünfte Abschnitt des Werkes behandelt die Theorie der Mengen vom harmonischen Maß Null, aus denen als wichtigste Unterklasse die Mengen vom absoluten harmonischen Maß Null herausgehoben werden: Das sind Mengen, welche in bezug auf alle Gebiete (in gewissem Sinne), zu deren Rand sie gehören, das harmonische Maß Null zeigen (kurz: harmonische Nullmengen). Es zeigt sich, daß das dieselben Mengen sind, welche auch in der Wiener-de-la-Vallée-Poussinschen Theorie des Dirichletschen Problems als Mengen von der Kapazität Null und in den Untersuchungen von Fekete, Pólya und Szegö als Mengen vom transfiniten Durchmesser Null erscheinen. Diese Mengenklasse ergibt sich in zahlreichen funktionentheoretischen Sätzen als die in der Natur der Dinge begründete genaue Ausnahmemenge und verleiht den Aussagen eine endgültige, scharfe Gestalt. Ältere Formulierungen mittels anderer Maßbestimmungen, wie des linearen, flächenhaften, \(\delta\)-dimensionalen, logarithmischen oder noch allgemeiner mittels des \(h(t)\)-Maßes erweisen sich in diesem Zusammenhang nur als vorläufige, wenn auch sehr wichtige Abschätzungen; der Zusammenhang zwischen ihnen und dem harmonischen Maß wird hier eingehend untersucht, aber das Problem ist bisher noch nicht zu voller Zufriedenheit lösbar gewesen. In diesem Sinne sind als Anhaltspunkte für die weitere Forschung spezielle Untersuchungen über die genannten Maßbegriffe und das harmonische Maß bei Cantorschen Mengen zu nennen.
Von der Wertverteilungslehre gibt der Verf. eine – gegenüber allen früheren Darstellungen (auch seiner eigenen, 1929, a. a. O. ) -wesentlich abweichende Gestalt. Zwar sind die Hauptsätze dieselben geblieben, aber im übrigen haben vertiefte Einsichten in das Wesen der auftretenden Hilfsgrößen und der Methoden Veränderungen von Grund auf mit sich gebracht. Dazu tritt noch die Untersuchung der Riemannschen Flächen, welche von eindeutigen Funktionen \(f(z) = w\) über der \(w\)-Ebene erzeugt werden; diese Untersuchung – im Falle gebrochener Transzendenten 1914 von Iversen zuerst streng und planmäßig begonnen, und im Buche von 1929 nur angedeutet – hat jetzt dazu geführt, die Riemannschen Flächen in manchem Sinne sogar als Ausgangspunkt der Arbeit zu wählen; so ist neben das analytische Moment der klassischen Theorie der ganzen Funktionen, wie sie die französische und skandinavische Schule um Borel und Mittag-Leffler bis etwa 1920 pflegte, ein ganz neues geometrisches Element getreten, das sich als höchst fruchtbar erwiesen hat. Seine modernste Gestalt findet man in der Ahlforsschen Theorie der Überlagerungsflächen, welche erkennen läßt, in wie hohem Maße die Verallgemeinerungen des Picardschen Satzes von den engen Schranken konformer Geometrie frei sind und mehr in ein Gebiet topologischer Abbildungen mit bestimmten metrischen Verhältnissen gehören.
Es ist das große Verdienst Nevanlinnas, mit tiefdringendem Scharfblick in den um 1920 bereits erstarrenden Methoden der Theorie der ganzen Transzendenten die naturgemäßen Hilfsmittel zu einem Aufbau der Theorie der gebrochenen Transzendenten \(f(z) = w\) erkannt zu haben – die es erlauben, den künstlichen Umweg über die Darstellung als Bruch aus zwei ganzen Funktionen zu meiden; zugleich ergab es sich, daß diese Mittel auch bei den ganzen Funktionen selbst wesentlich schärfer waren als das bisherige. Es handelt sich dabei einerseits um die heute als Schmiegungsfunktion bezeichnete Bildung \(([w, a] = |w - a| : \sqrt{(1 + |w|^2) (1 + |a|^2)}\) ist der Kugelabstand von \(w\) und \(a\)) \[ m(r, a) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \log\, \frac{1}{[f(re^{i\varphi}), a]}\,d\varphi, \] anderseits um die Charakteristik als Wertverteilungsmaßetab. Man erklärt sie heute durch \[ T(r, f) = \int\limits_0^r t(\varrho, f) \frac{d\varrho}{\varrho}, \] wo \(t(r, f)\) den Inhalt des Bildflächenstückes von \(|z| \leqq r\) über der \(w\)-Ebene in sphärischer Maßbestimmung bezeichnet; diese Deutung, erst seit 1929 bekannt, fehlte in dem oben genannten Werke noch. Neben diese beiden Größen tritt die Anzahl \(n(r, a)\) der \(a\)-Stellen von \(f(z)\) im Kreise \(| z | \leqq r\) bzw. die daraus durch Integration gewonnene Anzahlfunktion \(N (r, a)\).
Die klassische Theorie der ganzen Funktionen benutzte als Wertverteilungsmaßstab den Logarithmus des Maximalbetrages von \(f(z)\) für \(|z| \leqq r\), \(\log\, M(r)\), und arbeitete im wesentlichen mit dem Vergleich der Wachstumsordnungen der \(\log\, M(r)\) und der Anzahlen \(n(r, a)\); dadurch kam von außen die Vergleichsfunktion als Wachstumsmaßstab herein -und zahlreiche Arbeiten bezogen sich darauf, diese Theorie der Vergleichsfunktionen immer weiter zu treiben.
Statt dessen kann die Nevanlinnasche Wertverteilungstheorie unmittelbare Gleichungen bzw. Ungleichungen zwischen den drei Grundfunktionen \(m\), \(N\), \(T\) aufstellen (erster und zweiter Hauptsatz), die ohne alle von außen herangetragenen Hilfsmittel die Sachlage zu übersehen gestatten. Den einfachsten Ausdruck für das Wertverteilungsverhalten einer meromorphen Funktion liefert jetzt die Defektrelation \[ \varSigma \delta(a) + \varSigma \varepsilon(a) \leqq 2, \] wo \[ \delta(a) = 1 - \varlimsup \frac{N (r, a)}{T(r, f)}, \qquad \varepsilon(a) = \varliminf \frac{N_1(r, a)}{T(r, f)} \] die sogenannten Defekte (Dichteunterschreitungen) bzw. Indizes der algebraischen Verzweigtheit (Dichte der mehrfachen \(a\)-Stellen) messen. Für die Bildung von \(N_1(r, a)\) wird jede \(\lambda\)-fache \(a\)-Stelle \((\lambda - 1)\)-fach gezählt; im übrigen ist sie zur Bildung von \(N\) analog.
Bei gebrochenen Funktionen (meromorph für \(| z | < \infty\)) liegen die Dinge am einfachsten; \(T(r, f)\) wächst mindestens so rasch wie \(\log\, r\) über alle Grenzen – bei transzendenten Funktionen sogar notwendig rascher. Bei Funktionen aber, die nur im Einheitskreise meromorph sind (sogenannten bruchartigen Funktionen), sind drei Fälle zu unterscheiden:
(1) \(T(r, f) : \log\,\dfrac{1}{1-r}\) unbeschränkt; dann gilt ein Analogon zum Picardschen Satz und zu dessen Verschärfungen: Die Schranke in der Defektrelation ist gleich 2.
(2) \(T(r, f) : \log\, \dfrac{1}{1-r}\) bleibt beschränkt; das tritt z. B. bei der Modulfunktion bzw. allen Fuchsschen Funktionen ein; die Zahl der Vollausnahmewerte bzw. die Schranke in der Defektrelation kann sich über 2 erheben.
(3) \(T(r, f)\) selbst bleibt beschränkt (Beschränktartige Funktionen). Dieser Fall verdient besonderes Interesse. Solche Funktionen sind als Quotienten zweier beschränkter Potenzreihen darstellbar; bei ihnen spielt die harmonische Maßtheorie eine besonders eingehende Rolle; Verf. gibt eine wichtige Integraldarstellung solcher Funktionen und entwickelt den klassischen Satz von Fatou sowie die Sätze von Riesz u. a. über die Randwertmengen; endlich gehören hierher neue und sehr beachtenswerte Sätze über die Randpunktmengen schlichter Gebiete. Die erzeugende (eindeutige) Funktion für die universelle, regulär verzweigte Überlagerungsfläche eines schlichten Gebietes von beliebigem Zusammenhang ist dann und nur dann beschränktartig, wenn die Randmenge jenes Gebietes positives harmonisches Maß hat.
Im folgenden gibt der Verf. die Kernstücke der Wertverteilungslehre gebrochener Funktionen, besonders bei solchen von endlicher Ordnung auch die Sätze über die kanonische Produktdarstellung, und die wichtigsten Folgerungen des zweiten Hauptsatzes; für den zweiten Hauptsatz entwickelt er hier auch den methodisch wichtigen neuen Beweis von Ahlfors, der auf den Frostmanschen Gedanken der Massenbelegung zurückgeht.
Der Rest des Buches behandelt die Theorie der Riemannschen Flächen, welche von eindeutigen Funktionen, besonders gebrochenen, erzeugt werden, beleuchtet die Wertverteilungssätze an ihnen und nimmt sie schließlich zum Ausgangspunkt von Untersuchungen in der entgegengesetzten Richtung: Hier handelt es sich um drei Hauptfragen:
Erstens um das Typenproblem der Riemannschen Flächen: Unter welchen Strukturvoraussetzungen kann man bei einer gegebenen offenen und einfach zusammenhängenden Fläche entscheiden, ob sie in die endliche Ebene oder in den Einheitskreis abbildbar ist – oder ob sie von einer gebrochenen oder einer bruchartigen Funktion erzeugt wird. Diese Frage steht heute im Brennpunkt des Interesses; neben konformen Methoden gehört hierher die metrisch-topologische Ahlforssche Theorie der Überlagerungsflächen.
Zweitens das Aufbauproblem der Riemannschen Flächen: Aus welchen einfachen Baueigenschaften der Flächen kann man auf wichtige, kennzeichnende Eigenschaften der erzeugenden Funktionen schließen? Hierher gehört z. B. der Satz von Carleman-Denjoy-Ahlfors (Randstellensatz), der lehrt: Ist eine Fläche grenzpunktartig, d. h. von einer gebrochenen Funktion erzeugt, und enthält sie mindestens \(n\) logarithmische Windungspunkte, so ist die erzeugende Funktion mindestens von der Wachstumsordnung \(n/2\).
Endlich gehört hierher das Umkehrproblem der Wertverteilungslehre, als die Aufgabe, Funktionen mit vorgegebenen Wertverteilungseigenschaften herzustellen; bei dem jetzigen Stande der Theorie sind dabei die Riemannschen Flächen der gegebene Ausgangspunkt; hier hat der Verf. durch seine Flächen mit nur endlich vielen (logarithmischen) Windungspunkten vor wenigen Jahren die ersten großen Erfolge errungen; daran schließen sich neuerdings schon eine ganze Reihe von Arbeiten aus seinem Kreise, die sich insbesondere mit Flächen befassen, welche nur über endlich vielen Grundpunkten verzweigt sind (Elfving, Drape, Teichmüller, Ullrich und Wittich). Hier spielt die Darstellung Riemannscher Flächen durch Streckenkomplexe eine besonders handliche Rolle. Man findet die Einleitung zu den Untersuchungen noch im Buche berührt, indessen sind in den wenigen Monaten seit dem Erscheinen des Werkes gerade an dieser Stelle schon lebhafte und wesentliche Fortschritte erzielt worden.
Die Darstellung in dem Nevanlinnaschen Werke ist zwar gedrängt und knapp, aber doch gut lesbar; der Leser, der mit Eifer eindringt, wird reichen Genuß und gewiß auch eigenen Erfolg finden; an vielen Stellen ist auf wichtige offene Fragen hingewiesen. Das Werk ist ein zuverlässiger Führer durch die Forschung, aber auch – soweit das überhaupt möglich ist – ein Führer zu eigener Forschung. (IV 4 F, H; 13.)