Verf. gibt an, daß man bei der Jordan-von Neumannschen Charakterisierung des Hilbertschen Raumes (Ann. of Math. (2) 36 (1935), 719-723; JFM 61.0435.*) mit der schwächeren Voraussetzung auskommt: \(\left|\dfrac{x+y}{2}\right|\) ist eine Funktion \[ \dfrac 12\varphi \left(|x|, |y|, |x-y|\right) \] von \(|x|\), \(|y|\) und \(|x-y|\) mit der Eigenschaft \(\varphi(\alpha,0,\alpha)=\alpha\).
Diesen Satz stellt Verf. in einen allgemeineren Zusammenhang durch die folgenden Betrachtungen:
\(M\) sei ein metrischer Raum. \(m\) heißt Rotationszentrum, wenn eine Isometrie \(f\) von \(M\) mit \(m\) als Fixpunkt existiert, und ein Quasisymmetriezentrum, wenn \(f\) eine Involution ist und mit einem geeigneten \(K\) gilt: \(\overline{f(x),x} \geqq K\overline{m,x}\); schließlich ein Symmetriezentrum, wenn obendrein \(\overline{f (x), x}= 2\overline{m, x}\) ist.
Sei \(G\) sogar eine metrische abelsche Gruppe. \(G\) heißt quasinormiert, wenn ein \(K\) existiert, für das \(|2x|>K |x|\) gilt (\(x \neq 0\)), normiert, wenn \(|2x|=2|x|\) gilt, vollkommen normiert, wenn “zwischen” 0 und \(2x\) kein Punkt \(y\) mit \(|y|=|x|\) existiert, semivektoriell, wenn zu jedem \(x\) genau ein Element \(\dfrac{x}{2}\) mit \(2\cdot\dfrac{x}{2}=x\) existiert. (IV 7 B.)