Die für manche Aufgaben der technischen Physik wichtige Abschätzung der Differenz \(D(f,g)\) zwischen den Integralmittel des Produktes zweier Funktionen \(f\) und \(g\) und dem Produkt der Integralmittel der beiden Funktionen wird zunächst in dem Falle, daß beide Funktionen in dem Bereich \(0\leq x\leq 1\) eigentlich integrabel im Sinne Riemanns sind und daß \(\varphi \leq f(x)\leq \Phi,\gamma \leq g(x)\leq \Gamma \) ist, durch die Ungleichung \[ D(f,g)\leq \frac 14(\Phi -\varphi )(\Gamma -\gamma ) \] gegeben und in speziellen Fällen noch verfeinert.
Nach Einführung des Begriffes der “vollmonotonen Funktion”, bei der nicht nur die Differenzen zweier aufeinanderfolgender Funktionswerte, sondern auch die Differenzen aufeinanderfolgender Differenzen usw. gleichen Vorzeichens sind, wird gezeigt, daß, falls \(f\) und \(g\) vollmonotone Funktionen sind, die Ungleichung \[ D(f,g)\leq \frac 4{15}(\Phi -\varphi )(\Gamma -\gamma ) \] besteht. Diese Schranke läßt sich bei beliebigen vollmonotonen Funktionen nicht verkleinern.
Als Anwendung wird die schon bekannte Tatsache bewiesen, daß für die Koeffizienten \(a_n\) und \(b_n\) der Fourier-Entwicklung einer Funktion von beschränkter Schwankung \(a_n=O\left (\frac 1n\right )\), \(b_n=O\left (\frac 1n\right )\) ist, und es wird gezeigt, daß die Funktionen eines im Bereich \(a\leq x\leq b\) normierten Orthogonalsystems fast alle zwischen Grenzen oszillieren, deren Abstand größer ist als \(\frac 2{\sqrt {b-a}}-\alpha \), wie klein auch die Konstante \(\alpha \) sie mag. (IV 3 D.)