Gegenstand der Untersuchung sind die linearen Koordinatenräume \(\lambda \) und ihre Stellung zu den maximalen Matrizenringen. Unter einem linearen Koordinatenraum verstehen die Verf. eine Menge von Stellen \(\mathfrak r = (x_1, x_2, x_3,\dots )\) mit komplexen Koordinaten \(x_i\), die mit \(\mathfrak r\) und \(\mathfrak h\) stets auch die Stelle \(\mathfrak r + \mathfrak h = (x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3,\dots )\) und \(r\mathfrak r = \mathfrak r r = (rx_1, rx_2, rx_3,\dots )\) enthält. Die Gesamtheit aller Stellen überhaupt bildet einen linearen Koordinatenraum \(\omega \). Ebenso wird ein solcher Koordinatenraum von allen Stellen \(\varphi \) gebildet, von deren Koordinaten nur endlichviele nicht verschwinden. Ferner bildet die Gesamtheit aller Stellen \(\sigma _r\), für die \(|x_1|^r + |x_2|^r + |x_3|^r + \cdots \) konvergiert, einen linearen Koordinatenraum; für \(r = 2\) erhält man den Hilbertschen Raum.
Die Schwierigkeit dieser Untersuchungen wurde, wie die Verf. selbst bemerken, klar, nachdem ihnen ein linearer Koordinatenraum bekannt geworden war, dessen lineare Transformationen in sich selbst kainen Ring bilden, und G. Köthe ein Beispiel eines maximalen Matrizenringes gegeben hatte, der nicht als System \(\sum (\lambda )\) der linearen Transformationen eines linearen Koordinatenraumes \(\lambda \) in sich aufgefaßt werden kann.
Untersucht werden in der Arbeit “vollkommene” Räume, die stets einen maximalen Matrizenring bestimmen; doch ist nicht jeder maximale Matrizenring vollkommen. Als “vollkommene” Räume \(\lambda \) werden solche bezeichnet, bei denen der duale Raum des dualen Raumes mit \(\lambda \) identisch ist. Unter dem dualen Raume eines Raumes \(\lambda \), d. h. einer Teilmenge von \(\omega \) mit den formalen Linearitätseigenschaften, wird die Menge der Stellen \(\mathfrak u = (u_1, u_2,\dots )\) verstanden, für die \(\sum \limits _n u_nx_n\) stets absolut konvergiert, was auch \(\mathfrak r\) für eine Stelle aus \(\lambda \) ist. Der Hilbertsche Raum \(\sigma _2\) (der einzige zu sich selbst duale Raum), der Raum \(\omega \) und der Raum \(\sigma _{\infty }\) erweisen sich einfach als vollkommene Räume, wodurch ein neuer Beweis für die “Faltungssätze” und die Maximalität dieser Räume erbracht wird.
Das Verhältnis der vorliegenden Untersuchung zur Theorie von Hausdorff (J. f. M. 167 (1932), 294-311; F. d. M. 58) und Banach (Théorie des opérations linéaires, Warschau 1932; F. d. M. 58) über abstrakt durch Linearitätsaxiome definierte Räume wird in der Einleitung des Aufsatzes erörtert. Eine Erweiterung der Untersuchung von vollkommenen Matrizenringen auf allgemeine Matrizenringe und der Isomorphie von Matrizenringen gibt die anschließende Arbeit von A. Weber (s. nachstehendes Referat).