I. Verf. legt sich folgende Frage vor: Es sei \[ 0<\beta <1,\quad \lambda _1+\cdots +\lambda _s=1,\quad \lambda _\nu >0 \] mit \(1\leq \nu \leq s\); für welche Werte von \(\beta \) aus dem angegebenen Intervall läßt sich jedes positive ganze \(n\) in der Form \[ n=m_1^2+\cdots +m_s^2 \] mit ganzen \(m_1,\dots,m_s\) darstellen, so daß für \(1\leq \nu \leq s\) \[ |m_\nu ^2 - \lambda _\nu n| = O(n^{1-\beta }) \] gilt?
Die Winogradoffsche Methode zum Waringschen Problem in Gelbckescher Fassung (M. Gelbcke, Zum Waringschen Problem; Math. Ann. 105 (1931), 637–652; F. d. M. 57 (JFM 57.0214.02)) führt den Verf. auf folgende Beantwortung der Frage:
Für \(s\geq 5\) und \[ \beta <\operatorname {Min}\biggl (\frac {s-4}{3s-4}, \frac {s-2}{2(2s-1)}\biggr )\tag{\(^*\)} \] existieren solche Darstellungen, für \[ \beta >\frac 12\tag{\(^{**}\)} \] dagegen nicht.
Verf. kündigt die Erweiterung seiner Untersuchungen auf \(s=3\) und \(s=4\) und auf höhere als zweite Potenzen an. Die Lücke zwischen \((^*)\) und \((^{**})\) ist unausgefüllt.
II. Verf. verbessert das Hauptresultat der ersten Arbeit auf ähnlichem Wege wie dort zu folgender Aussage: Es sei \(s=5,6\) oder 7, \(\alpha =\dfrac {s-4}{4(s-3)}\) (hierin liegt die Verschärfung), \(0<\beta <\alpha \), \(\gamma =\dfrac {s}{2}-1-(s-1)\beta \). Dann ist mit nur von \(s\) und \(\beta \) abhängendem positivem \(c\) \[ r(n) = \frac {T}{2^s\Gamma (s)\bigl (\varPi (\lambda _i)\bigr )^{\frac 12}}\mathfrak S(n)n^\gamma + O(n^{\gamma -c}). \] Wegen der Erklärung der Funktionen \(r(n)\) und \(\mathfrak S(n)\) sei auf den Teil I der Arbeit (insbesondere auf p. 39) verwiesen.