Aus den Ergebnissen dieser umfangreichen Arbeit seien nur zwei angegeben. Das erste ist ein mengentheoretisches, das zweite ein elementares. Bezeichnungen: Sei \(s\geqq1\), \(s\) ganz; \(\omega(x)\) sei für \(x \geqq1\) positiv, stetig und abnehmend; \(f (x)\) sei für \(x>0\) positiv, stetig und wachsend; \(\omega(x)\to 0\) für \(x\to\infty\), \(f(x)\to0\) für \(x\to 0\). Das System \((\theta_1,\dots,\theta_s)\) läßt die Approximation \(\omega (x)\) zu, wenn es zu jedem \(c >0\) ein System \(p_1,p_2,\dots, p_s,q\) mit \(q > c\) gibt, das den Ungleichungen \[ \left|\theta_i-\frac{p_i}q\right|<\omega(q) \] genügt. Frage: Sei mit \(M(\omega(x);s)\) die Menge derjenigen Systeme \((\theta_1,\dots,\theta_s)\) mit \(0\leqq\theta_i<1\;(i=1,\dots, s)\) bezeichnet, die die Approximation \(\omega (x)\) zulassen. \(A\) sei eine Punktmenge im \(R_s\), \(L (A)\) das äußere Lebesguesche Maß von \(A\), wie groß ist dann \(L \big(M (\omega (x) ; s)\big)\)? Khintchines Antwort darauf (M. Z. 24 (1926), 706-714; F. d. M. 52, 183 (JFM 52.0183.*)) ist nicht voll befriedigend, z. B. \(s = 2\), \(\omega (x) = x^{-\alpha}\), \(\alpha>\dfrac32\). Es wird daher mit einem Maßbegriff, ähnlich einem von F. Hausdorff eingeführten (1918; F. d. M. 46, 292 (JFM 46.0292.*)), gearbeitet: Es sei \(R_s\) ein \(s\)-dimensionaler kartesischer Raum; die Kanten \(d_1,d_2,\dots\) der Würfel \(W_1\), \(W_2,\dots\) seien sämtlich zu den Koordinatenachsen parallel und kleiner als \(\varrho > 0\); die Würfel \(W_1\), \(W_2,\dots\) bilden das System \(\mathfrak S\). \(\mathfrak S\) sei ein Überdeckungssystem von \(A\). Es werde \(\varLambda (\mathfrak S) =\sum\limits_if(d_i)\) gesetzt. Die untere Grenze von \(\varLambda(\mathfrak S)\) für alle höchstens abzählbaren Systeme \(\mathfrak S\) sei \(L_\varrho(A;f(x))\). Schließlich sei der Grenzwert von \(L_\varrho(A;f(x))\) für \(\varrho\to0\) mit \(L (A; f (x))\) bezeichnet. Bedeutet noch \(M_e (\omega(x); s)\) die Menge der eigentlichen reellen Systeme, d. h. derjenigen, die keiner Gleichung \[ \sum\limits_{i=1}^{s}k_i\theta_i+k_0=0 \] mit ganzzahhgen, nicht sämtlich verschwindenden Koeffizienten \(k_0,k_1,\dots,k_s\) genügen, so läßt sich der erste Satz so formulieren:
Es seien \(\omega^s(x) x^{s+1}\) und \(f(2\omega(x)) x^{s+1}\) monoton für \(x\geqq1\), \(\dfrac{f(x)}{x^s}\) monoton für \(x>0\); \(\int\limits_1^\infty\omega^s(x)\cdot x^s\,dx\) konvergent; dann ist entweder \(L (M_e(\omega(x); s); f(x)) = 0\) oder \(L (M_e (\omega (x); s);\allowmathbreak f (x)) = \infty\), je nachdem \(\int\limits_1^\infty f\big(2\omega(x)\big) x^s\,dx\) konvergiert oder divergiert.
Der zweite Satz, den ich anführen will, lautet: Für \(\omega(x)\) gelten die gleichen Voraussetzungen wie vorher; \(\lambda (x)\) sei für \(x\geqq1\) definiert und habe für \(x\geqq1\) eine stetige Ableitung, es sei \(\dfrac{\lambda(x)}x\) monoton und \(\geqq1\) für \(x\geqq1\), \(\dfrac{\lambda(x)}x\to\infty\) für \(x\to\infty\). Dann gibt es eigentliche \(s\)-gliedrige Systeme, die zwar die Approximationen \(\omega (x)\), nicht aber die Approximation \(\omega\big(\lambda(x)\big)\) zulassen.