Verf. wendet die Theorie des Hilbertschen Raumes und seiner linearen Transformationen auf Fragen der klassischen Hamiltonschen Mechanik an. Die Untersuchung ist in der Folgezeit bei der Behandlung der Quasiergodenhypothese von großer Bedeutung geworden (vgl. J. v. Neumann, Proceedings USA Academy 18 (1932), 70-82; E. Hopf, Proceedings USA Academy 18 (1932), 96-100; F. d. M. 58; für die Zitate vgl. auch das folgende Referat). Mit \(\varPhi\) werde der Phasenraum eines mechanischen Systems bezeichnet. Wenn \(P(q_1, \ldots q_n, p_1,\ldots p_n)\) der allgemeine Punkt von \(\varPhi\) ist, so sei die sich aus den allgemeinen mechanischen Bewegungsgleichungen ergebende Strömung in \(\varPhi\) bezeichnet mit \(S_t: P\to P_t = S_tP\). \(S_t\) ist nach dem Liouvilleschen Satz in dem Sinne maßtreu, daß jede im Lebesgueschen Sinne meßbare Teilmenge von \(\varPhi\) durch \(S_t\) auf eine maßgleiche abgebildet wird. Ist \(\varOmega\) eine Integralfläche des mechanischen Systems (z. B. \(H (q, p) = C\)), die also gegenüber \(S_t\) invariant ist, so gibt es bekanntlich auf dieser Fläche ein Volumelement \(d\omega\) und eine Dichte \(\varrho = \varrho(P) > 0\) derart, daß \(S_t\) im Sinne des Lebesgueschen Maßes \[ \mu (\varOmega _1)=\int\limits _{\varOmega_1} \varrho d\omega \] (\(\varOmega_1\) Teilmenge von \(\varOmega\)) in \(\varOmega\) maßtreu ist.
Die \(S_t\) bilden in \(\varPhi\) (und auch in \(\varOmega\)) eine einparametrige Gruppe: \[ S_t(S_sP)=S_{t+s}P. \]
Verf. betrachtet nun den Hilbertschen Raum \(\mathfrak H\) aller meßbaren komplexwertigen Funktionen \(f(P)\) in \(\varOmega\) mit endlichem \(\int\limits_{\varOmega} |f(P)|^2 \varrho d\omega\), wobei das innere Produkt durch \(\int\limits_{\varOmega} f(P) \overline{g(P)} \varrho d\omega\) erklärt ist.
Der Funktionaloperator \(U_t\): \[ f(P)\to f(S_tP)=U_tf(P)\tag{1} \] erweist sich als linear und unitär, und es gilt \(U_t U_s = U_{t+s}\). \(U_t\) erweist sich als stetig abhängig von \(t\). Sodann gibt es nach einem Satz von M. H. Stone (Proceedings USA Academy 16 (1930), 172-175; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 357-358) einen hypermaximalen Operator \(A\) mit der Zerlegung der Einheit \(E(\lambda)\) derart, daß \[ (U_tf,g) = \int e^{it\lambda} d (E(\lambda)f,g)\tag{2} \] (Stieltjessches Integral) oder kurz \[ U_t=\int e^{it\lambda}dE(\lambda) = e^{itA}\tag{3} \] gilt. (Nach einem Satz von J. v. Neumann würde auch die meßbare Abhängigkeit von \(U_t\) von \(t\) genügen.)
Ist \(\varphi\) Eigenfunktion von \(U_t\) eines nichtintegrablen Systems, so gilt also \[ U_t\varphi =e^{i\lambda t}\varphi.\tag{4} \] Daraus folgt, daß \(|\varphi|\) fast überall konstant sein und die Form \(\varphi = e^{i\vartheta}\) haben muß, wo \(\vartheta\) bis auf Vielfache von \(2\pi\) fast überall definiert ist. Aus (4) folgt dann \[ U_t\vartheta =\vartheta + \lambda t\quad (\operatorname{mod} 2\pi), \tag{5} \] so daß \(\vartheta\) als “Winkelvariable” anzusprechen ist. Damit ein solches von Null verschiedenes \(\varphi\) existiert, muß das Maß von \(\varOmega\) endlich sein. (IV 7.)