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Rothe, E.

Über die Wärmeleitungsgleichung mit nichtkonstanten Koeffizienten im räumlichen Falle. I, II. (German) JFM 57.0587.01

Math. Ann. 104, 340-354, 355-362 (1931).
Die erste Randwertaufgabe für \[ L(z) = R(x, y_1, y_2, y_3)\dfrac{\partial z}{\partial x} + S(x, y_1, y_2, y_3),\qquad L(z) = \sum_{i,k}\dfrac{\partial}{\partial y_i} \bigg(a_{ik}\dfrac{\partial z}{\partial y_k}\bigg), \] wo \(\sum a_{ik}\xi_i\xi_k\) positiv definit ist, wird durch die Differenzenmethode auf eine Folge von Randwertaufgaben elliptischer Gleichungen in den drei Veränderlichen \(y_1, y_2, y_3\) zurückgeführt. Der Grenzübergang gelingt zunächst nur unter Annahmen über die Randwerte, durch die das Unendlichwerden von \(\dfrac{\partial z}{\partial x}\) auf dem Rande verhindert wird. Zur Beseitigung dieser Einschränkungen wird ein Entwicklungssatz aus einer früheren Arbeit des Verf. (1929; JFM 55.0288.*) herangezogen.
Reviewer: Hoheisel, G., Prof. (Köln)

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Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 14. Hyperbolische und parabolische Differentialgleichungen.

Citations:

JFM 55.0288.*
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References:

[1] Annali di Matematica (3)14 (1908).? Vgl. auch Gevrey, Journal d. Math. (6)9 (1914).? Über die Behandlung von (1) für den Fall, daßR vonx unabhangig undS?0 ist, mit der Methode der Partikularlösungen siehe A. Hammerstein, Über die Entwicklung gegebener Funktionen nach Eigenfunktionen von Randwertaufgaben, Math. Zeitschr.27 (1927), S. 304ff.
[2] Dieser entspricht der Wärmeleitung in homogenen isotropen Körpern, während Gleichung (1) auch den Fall inhomogener anisotroper Körper umfaßt.
[3] Anmerkung bei der Korrektur. Vgl. jedoch die demnächst in der Math. Zeitschr. erscheinende Arbeit des Verfassers: Über die Grundlösung bei parabolischen Gleichungen.
[4] Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben, Math. Annalen102 (1930), S. 650. Im folgenden mit Z.p.R. zitiert. Soweit sich einzelne Beweise aus dieser Arbeit für die vorliegende unmittelbar verwenden ließen, wurde ihre Darstellung unter Berufung auf die entsprechenden Stellen in Z.p.R. übergangen. Im übrigen ist die Darstellung unabhängig von Z.p.R. gehalten.
[5] y steht an Stelle von (y 1,y 2,y 3). Ebenso werden wir häufig stattf(x,y 1,y 2,y 3) kurzf(x,y) schreiben.
[6] Über die Lösbarkeit elliptischer Randwertaufgaben mit drei unabhängigen Variablen s. L. Lichtenstein, Neue Beiträge zur Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus, Math. Zeitschr.20 (1924), S. 198, und W. Sternberg, Über die linearen elliptischen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit drei unabhängigen Variablen, Math. Zeitschr.21 (1924), S. 286.
[7] Vgl. etwa Gevrey, loc. cit.. S. 330.
[8] E. Rothe, Über die Approximation stetiger Funktionen durch Eigenfunktionen elliptischer Differentialgleichungen, Sitzungsberichte d. Berliner Math. Ges.28 (1929). · JFM 55.0288.02
[9] Dieser der Vollständigkeit wegen hier ausgesprochene Satz ist auf S. 74 der in Anm. 8) E. Rothe, Über die Approximation stetiger Funktionen durch Eigenfunktionen elliptischer Differentialgleichungen, Sitzungsberichte d. Berliner Math. Ges.28 (1929) angenführten Arbeit bewiesen. · JFM 55.0288.02
[10] Siehe etwa W. Sternberg,loc. cit. S. 291. · JFM 50.0647.01 · doi:10.1007/BF01187471
[11] Z. p. R., Gl. (25). Man hat nur die dort im Beweise auftretende zweite Ableitung nach der einen Variableny durch die OperationL zu ersetzen sowie die Vereinfachungen zu beachten, die sich daraus ergeben, daß bei unsS nicht vonz abhängt. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben, Math. Annalen102 (1930) S. 650.
[12] Z.p.R., Gl. (35) und (38). Vgl. die vorige Anmerkung. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben, Math. Annalen102 (1930) S. 650.
[13] Vgl. den entsprechenden Schluß in Z.p.R., S. 657. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben, Math. Annalen102 (1930) S. 650.
[14] Vgl. die entsprechende Rechnung in Z. p. R. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben, Math. Annalen102 (1930), S. 650, S. 661 f.
[15] Vgl. Z. p. R., Anm. 9) Dieser der Vollständigkeit wegen hier ausgesprochene Satz ist auf S. 74 der in Anm. 8) E. Rothe, Über die Approximation stetiger Funktionen durch Eigenfunktionen elliptischer Differentialgleichungen, Sitzungsberichte d. Berliner Math. Ges.28 (1929) angeführten Arbeit bewiesen.
[16] Z. p. R., Anm. 9) Dieser der Vollständigkeit wegen hier ausgesprochene Satz ist auf S. 74 der in Anm. 8) E. Rothe, Über die Approximation stetiger Funktionen durch Eigenfunktionen elliptischer Differentialgleichungen, Sitzungsberichte d. Berliner Math. Ges.28 (1929). angeführten Arbeit bewiesen.
[17] Vgl. etwa S. 74 der in Anm. 8) E. Rothe, Über die Approximation stetiger Funktionen durch Eigenfunktionen elliptischer Differentialgleichungen, Sitzungsberichte d. Berliner Math. Ges.28 (1929). zitierten Arbeit. · JFM 55.0288.02
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