Die zwei folgenden Probleme werden hier behandelt:
(1) Das Neumannsche Problem für einen Kreisring: Bestimmung einer in dem von den beiden Kreisen \(R\), \(r\) (\(R>r\)) eingeschlossenen Bereiche harmonischen Funktion \(u(\varrho,\theta)\), welche auf den Kreislinien \(r\), \(R\) die Bedingungen \[ \frac{du}{dn}=g(\theta) \;\text{bzw.} \;\frac{du}{dn} = G(\theta) \] erfüllt; \(g(\theta)\) und \(G(\theta)\) sind zwei vorgegebene, stetige und periodische Funktionen mit der Periode \(2\pi\), welche der Relation: \[ \int\limits_0^{2\pi}G(\theta)\,d\theta = \frac{r}{R}\int_0^{2\pi}g(\theta)\,d\theta \] genügen.
(2) Das gemischte Problem für einen Kreis: Bestimmung einer in einem Kreise \(R\) harmonischen Funktion \(u(\varrho,\theta\)), welche auf der Kreislinie die Bedingung \[ \alpha u -\beta \frac{du}{dn}=f(\theta) \] erfüllt, wo \(\alpha\), \(\beta\) zwei Konstanten sind und \(f(\theta)\) eine stetige periodische Funktion bezeichnet.
Diese Probleme sind schon lange vorher von U. Dini (1873; F. d. M. 5, 227 (JFM 05.0227.*)-228) behandelt worden, freilich aber unter der beschränkenden Bedingung der Entwickelbarkeit der vorgegebenen Funktionen in eine Fouriersche Reihe.