Der Gewichtsfunktion \[ p(x)=(1-x)^\alpha\,(1+x)^\beta\,t(x)\;\alpha>-1,\beta>-1, \] mit stetigem, im Bereiche \(-1\leqq x\leqq 1\) positivem Faktor \(t (x)\) entspricht ein System darin orthogonaler Polynome \(P_n(x)\). Für die zugehörigen Funktionen zweiter Art, also für die Größen \[ Q_n\,(y)=\int\limits_{-1}^{+1}\frac{p\,(x)\,P_n\,(x)}{y-x}\,dx \qquad(n=0,1,2,\dots ) \] gilt, wenn \(|\,y\,|>1\), die Entwicklung \[ \displaylines{\rlap{\qquad(1)} \hfill \qquad[Q_n\,(y)]^{-1}(y^2-1)^{-\frac{1}{2}}= S_n\,(y)+c_1y^{-1}+c_2y^{-2}+\cdots,\hfill} \] in der \(S_n(y)\) ein Polynom \(n\)-ten Grades von \(y\) bedeutet. Diese Polynome \(S_n\) sind der Gegenstand der Untersuchung des Verf. Aus (1) gewinnt er eine Darstellung von \(S_n(x)\) durch ein komplexes Integral. Er erhält aus (1) ferner für ein Polynom \(F_\nu(x)\) vom Grade \(\nu \leqq n\) die Formel \[ \int\limits_{-1}^{+1}p(x)\,P_n\,(x)\,S_n\,(x)\,F_\nu\,(x) \,dx=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-1}^{+1} \frac{F_\nu\,(x)\,dx}{\sqrt{1-x^2}}, \] deren Sonderfälle \[ F_\nu\,(x)=\cos\,(\nu\,\text{arc}\,\cos\,x)\;\text{und}\;F_\nu\,(x)= x^\nu \] die Beiwerte des Polynoms \(S_n(x)\) zu bestimmen gestatten. Verf. stellt dann die Frage nach der Übereinstimmung \(S_n(x)\equiv P_n(x)\) und findet als deren kennzeichnende Bedingung, daß in Darbouxs Rücklaufsformel der Funktionen erster Art \[ A_{n+1}\,P_{n+1}\,(x)+A_nP_{n-1}\,(x)= (B_n+x)\,P_n\,(x)\qquad(n=1,2,\dots ) \] \(B_n = 0\), \(A_n =\frac{1}{2}\) ist. In dem Sonderfalle der Jacobischen Polynome \(t (x) \equiv1\) tritt dies nur ein, wenn \(\alpha=\beta=\pm\frac{1}{2}\), \(\alpha=-\beta=\pm\frac{1}{2}\) ist.
Die Polynome \[ K_n(x) = S_n(x) \equiv P_n(x) \] stellt Verf., indem er \[ K_0=a,\;\;K_1\,(\cos\,\varphi)=b\,\cos\,\varphi+d \] setzt, in der Form dar: \[ K_n\,(\cos\,\varphi)=b\,\cos\,n\varphi+(b-a) \frac{\sin\,(n-1)\,\varphi}{\sin\varphi}+ d\frac{\sin\,n\varphi}{\sin\,\varphi}. \] Weiterhin beschränkt er sich auf den Fall \(d = 0\). Es ergibt sich dann \[ p(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-\mu x^2},\; \mu=\frac{2b}{a}-\biggl(\frac{b}{a}\biggr)^2\leqq 1,\;a= \sqrt{\dfrac{2}{\pi }}. \] Für \(\mu=1\) erhält man die Tschebyscheffschen Polynome, für \(\mu= 0\) die Polynome \[ U_n\,(\cos \varphi)=\sqrt{\frac{2}{\pi }} \frac{\sin\,(n+1)\,\varphi}{\sin\,\varphi}. \] Die \(K_n (x)\) genügen einer linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung. \(K_n(y)\) sind die Näherungszähler des Kettenbruches für \[ \frac{Q_0\,(y;\mu)}{K_0}= \int\limits_{-1}^{+1}\frac{\sqrt{1-x^2}\,dx}{(1-\mu x^2)\,(y-x)}, \] dessen Näherungsnenner die Größen sind: \[ R_n\,(y)=\sqrt{2\pi }\frac{\sin\,(n\,\text{arc}\,\cos\,y)} {\sqrt{1-y^2}}. \] (III 3.)