Verf. geht von einer Mannigfaltigkeit \(\Omega\) von Elementen aus, für die eine assoziative und kommutative Verknüpfungsoperation \(R\) erklärt ist. An \(\Omega\) werden noch weitere Forderungen gestellt, durch die hinsichtlich der Operation \(R\) die eindeutige Zerlegung der Elemente von \(\Omega\) in Primelemente gesichert wird. Verf. stellt sich das Problem, die so definierte Arithmetik von \(\Omega\) – wenn nötig, unter Hinzunahme weiterer Elemente – zu einer vollständigen Arithmetik zu ergänzen, die einschließlich der Ordnungsrelation zu der der rationalen Zahlen isomorph ist. Die Aufgabe wird in vorliegender Arbeit gelöst durch ein irreguläres Feld (s. u.), das von Matrizen gebildet wird.
Das Verfahren dabei ist axiomatisch: Verf. geht von einem ganz allgemeinen, abstrakt definierten Bereich, einer sog. “Varietät” aus, d. i. ein System, das zusammengesetzt ist aus einer Mannigfaltigkeit von Elementen, einer oder mehreren für diese erklärten eindeutigen Operationen und einer auf die Elemente anzuwendenden Äquivalenzbeziehung, die die Rolle der Gleichheit spielt. Durch Hinzufügen weiterer Forderungen gelangt Verf. von der Varietät über verschiedene Stationen wie eingangs erwähnten \(\Omega\)-Bereich, kommutative Halbgruppe, Ring usw. zum abstrakt definierten irregulären Feld; das ist ein System mit vierfacher Komposition, die die Stelle der rationalen Operationen einnimmt, in dem eine endliche oder unendliche Anzahl \(>1\) von Elementen als “Divisoren” ausgeschlossen ist. Diese irregulären Elemente sind Nullteiler; auch sie sind nach der hier geforderten Arithmetik eindeutig als “Produkt” von Primelementen darstellbar; doch enthalten diese Ausführungen nicht viel Neues (vgl. Krull, 1927; F. d. M. 53, 116). Schließlich wird eine Matrizenvarietät konstruiert, die nur aus irregulären Elementen besteht und zur Lösung des anfangs skizzierten Problems führt.