Es handelt sich hier um die Quantelung des leeren elektromagnetischen Feldes in Weiterführung der Methoden bei Systemen (Atome Molekel) mit endlich vielen Freiheitsgraden. Dirac (Proceedings Royal Soc London (A) 114 (1927); 243-265, 710-728; F. d. M. 53, 847 (JFM 53.0847.*)) ist dies gelungen durch Zerlegung des Feldes in monochromatische Partialwellen, d. h in ein System von harmonischen Oszillatoren die in bekannter Weise gequantelt werden können. Die Quantelung kann allgemein auf zwei Weisen dargestellt werden: (1) Die klassischen Größen (hier die Amplituden der Oszillatoren) sind nicht gewöhnliche, sondern hyperkomplexe Zahlen (von Dirac \(q\)-Zahlen genannt), bei denen an Stelle der kommutativen Multiplikationen sogenannte Vertäuschungsrelationen gelten. (2) Die klassischen Größen sind lineare Operatoren, die auf die Schrödingerfunktionen wirken.
Den Verf. gelingt es, nach der ersten Weise für die Feldstärken direkt ohne Partialwellenzerlegung \(q\)-Zahlenvertauschungsrelationen relativistisch invariant aufzustellen und nach der zweiten Weise die Repräsentation durch Funktionaloperatoren, die hier auf Funktionale wirken, d. h. auf von dem Gesamtverlauf einer Funktion abhängige Größen, unter Benutzung der Volterraschen Funktionalanalysis. Das Analogon der Schrödingerschen Gleichung wird eine funktionelle Integrodifferentialgleichung.