Eine Menge \(M\) des \(n\)-dimensionalen, euklidischen Raumes \(R^n\) wird “konvex im kleinen” genannt, wenn jeder Punkt von \(M\) eine konvexe Umgebung in \(M\) hat. Es wird bewiesen, daßjede abgeschlossene, zusammenhängende Punktmenge, die konvex im kleinen ist, konvex ist. Zum Beweis wird jeder Menge eine Dimensionszahl zugeordnet (die mit dem Mengerschen topologischen Dimensionsbegriff nichts zu tun hat). Eine Menge \(M\) hat die Dimensionszahl \(d\), wenn \(M\) einem \(d\)-dimensionalen, aber keinem \((d-1)\)-dimensionalen linearen Teilraum des \(R^n\) angehört. Einem Punkt kommt die Dimensionszahl \(d\) in bezug auf \(M\) zu, wenn \(d\) die kleinste Dimensionszahl aller Umgebungen von \(P\) in \(M\) ist.
Aus dieser Definition ergibt sich zunächst, daß wenn alle Punkte einer Menge die gleiche Dimensionszahl in bezug auf diese Menge haben, diese Dimensionszahl auch der Menge selbst zukommt. Dies ist der Fall bei allen konvexen Mengen und allen im kleinen konvexen, zusammenhängenden Mengen; daraus folgt weiter, daßsolche Mengen, wenn \(m\) ihre Dimensionszahl ist, in einem \(R^m\) innere Punkte besitzen und, falls abgeschlossen, deren abgeschlossene Hülle sind, und daß falls die Menge selbst zusammenhängend, auch die Menge der inneren Punkte zusammenhängend ist.
Zunächst für den Fall \(m=2\), und daraus folgend für \(m>2\), ergibt sich dann, daßbei den zusammenhängenden, abgeschlossenen, \(m\)-dimensionalen Mengen aus der Nicht-Konvexheit die Existenz von im kleinen nicht konvexen Punkten folgt. Dabei wird noch benutzt, daßjede im kleinen konvexe Menge in jedem ihrer Punkte zusammenhängend ist, und daßdaher ihre Komponenten isoliert und selbst im kleinen konvex sind.