E. Bompiani benutzt bei der Aufstellung der projektiven Invarianten von zwei ebenen Kurven, die in einem Punkte eine gemeinsame Tangente und Berührungen von gleicher Ordnung mit der Tangente haben, ein von C. Segre eingeführtes Verfahren. Bei der Untersuchung der projektiven Berührungsinvarianten von Raumkurven erweitert Bompiani das Segresche Verfahren folgendermaßen: Zwei Kurven \(C\) und \(\overline{C}\), die in einem gewöhnlichen Punkte \(O\) eine Berührung der Ordnung \(n \geqq 1\) haben, und ihre gemeinsame Tangente \(t\) schneiden eine in der Nähe von \(O\) liegende Ebene \(\omega\) in den Punkten \(P, \overline{P}, T\). Projiziert man diese Punkte durch die drei Ebenen \(\pi,\overline{\pi},\tau\) auf eine durch \(O\) gehende Gerade \(r\), und untersucht man das Doppelverhältnis \(D\), das diese drei Ebenen mit einer beliebigen vierten Ebene \(\sigma\) durch \(r\) bilden, so gelangt man zu den Berührungsinvarianten der Kurven \(C\) und \(\overline{C}\). Hieraus lassen sich die folgenden Sätze ableiten: In dem Ebenenbüschel durch die gemeinsame Tangente der beiden Kurven \(C\) und \(\overline{C}\) befindet sich eine Hauptebene. Projiziert man von einem beliebigen Punkt dieser Hauptebene aus \(C\) und \(\overline{C}\), so haben die Projektionen eine Berührung, die mindestens von der \((n+1)\)-ten Ordnung ist.
Haben \(C\) und \(\overline{C}\) in \(O\) eine Berührung der Ordnung \(n>1\), und fällt die Hauptebene nicht mit der gemeinsamen Schmiegungsebene zusammen, so bestimmen die Umgebungen \((n+1)\)-ter Ordnung von \(O\) auf den Kurven eine Involution auf dem Geradenbündel, das durch \(O\) geht und in der Hauptebene liegt. Die doppeltzählenden Geraden dieser Involution sind die Hauptgerade und die gemeinsame Tangente. Haben \(C\) und \(\overline{C}\) eine Berührung erster Ordnung und eine gemeinsame Schmiegungsebene, so bestimmen die Umgebungen zweiter Ordnung von \(O\) auf beiden Kurven eine parabolische Involution auf dem Geradenbüschel durch \(O\) in dieser Ebene. Die Doppelgerade dieser Involution ist die \(C\) und \(\overline{C}\) gemeinsame Tangente.