Der folgende Satz steht in engem Zusammenhange mit einem analogen Satze von Hardy und Littlewood (M. Z. 28 (1928), 612-634; F. d. M. 54, 301 (JFM 54.0301.*)) und bildet gleichzeitig eine Verallgemeinerung eines Resultates, welches Verf. im Jahre 1922 (F. d. M. 48, 304 (JFM 48.0304.*)) für \(p=2\) erzielt hat.
Es sei \(0<\alpha<1\), \(1<p \leqq 2\) und \[ \int_0^{2\pi}| \varphi(t,x)|^p dx=\int_0^{2\pi} | f(x+2t)+f(x2t)-2f(x)|^p dx=O(t^{\alpha p}); \] dann ist die mit den Fourierkoeffizienten gebildete Reihe \(\sum | c_\nu|^k\) für \[ k>\frac{p}{p+p \alpha -1} \] konvergent.
Der Beweis des obigen Satzes stützt sich auf das folgende Lemma:
Bedeutet \(\sigma_n(x)\) die \(n\)-te Fejérsche Partialsumme der Fourierreihe von \(f(x)\) und ist für \(t>0\): \[ \int_0^{2\pi}| \varphi(x,t)|^p dx \leqq \lambda t^{\alpha p},\;\lambda>0,\;p>1,\;-\frac 1p<\alpha<1, \] dann gilt: \[ \int_0^{2\pi}|\sigma_n(x)-f(x)| dx<\varrho \lambda n^{-\alpha p},\;\text{für}\;n=1,2,\dots. \]