H. Weyl hat (F. d. M. 46, 1300 (JFM 46.1300.*)) eine Verallgemeinerung des Riemannschen Raumbegriffs entwickelt, welche in konsequenter Weiterfuhrung der Idee einer Nahgeometrie auch die Übertragung der Eicheinheit der Längenmessung relativiert und sie nur im Infinitesimalen durch die inneren Eigenschaften des Raumes definiert. Wie durch die Riemannschen Krümmungsverhältnisse das Gravitationsfeld, so sollte durch die Variabilität des Eichmaßes das elektromagnetische Feld “geometrisch” beschrieben werden. Für die Änderung \(dl\) einer Eichstrecke von der Länge \(l\) bei der Verrückung \(dx_i\) wurde angenommen \[ dl = \alpha l\, \sum \varphi_i \, dx_i \] oder \[ l = l_0 e^{\alpha \int \sum \varphi_i \, dx_i}. \]
Die \(\varphi_i\), welche die Eichverhältnisse charakterisieren, wurden mit dem elektromagnetischen Viererpotential identifiziert; \(\alpha\) ist eine noch unbekannte Konstante.
Gegen diese Deutung war von Einstein (F. d. M. 46, 1296 (JFM 46.1296.*)) der Einwand erhoben worden, daß das Eichmaß nicht integrabel sei, d. h. in seiner Länge von seiner Vorgeschiehte abhänge, was der Erfahrung (z. B. der Existenz scharfer Spektrallinien) widerspräche, wenn anders das Eichmaß überhaupt ein reales Ding sein soll.
Es wird nun gezeigt, daß das Eichmaß l identisch ist mit dem komplexen Skalar \(\psi\) der de Broglieschen Wellen, wenn man \(\alpha\) nicht wie bisher reell, sondern imaginär \(= \dfrac{2\pi i}{h} \cdot\dfrac{e}{c}\) wählt. Die diskrete Reihe von stationären Bahnen ist nach de Broglie nun gerade dadurch charakterisiert, daß auf ihnen der Skalar \(\psi\) bei einem geschlossenen Umlauf nach einer ganzzahligen Anzahl von Schwingungen wieder genau zu seinem ursprünglichen Wert zurückkehrt. Nimmt man an, daß ein Eichmaßstab nur auf diesen stationären Bahnen bewegt werden kann, so hat er, obwohl der Exponent von \(l\) nicht integrabel ist, Teil an der Eindeutigkeit von \(\psi\).
War ursprünglich die Annahme einer Veränderlichkeit des Eichmaßes nicht nur durch gar keine Erfahrung nahegelegt, sondern sogar in offenkundigem Widerspruch zu dieser, so stellt sich jetzt heraus, daß der Skalar der Materie sich tatsächlich so verhält wie das von Weyl postulierte Eichmaß, und daß der Einwand der Nichtintegrabilität entkräftet wird durch den Hinweis auf die Eindeutigkeit von \(\psi\) auf den wirklichen Bahnen. Eine Übertragung dieser Gedanken von der de Broglieschen Fassung der Quantenmechanik auf die Schrödingersche stößt noch auf gewisse Schwierigkeiten und geschah bisher erst in einer ganz provisorischen Form. (VII 2.)