Bekanntlich wird die Untersuchung der Konvergenz der Bessel-Fourierschen Reihe \[ \tag{1} \sum\limits_{m=1}^\infty A_mJ_\nu(j_mx),\;\;A_m=\frac{2}{J^2_{\nu+1}\bigl(j_m\bigr)} \int_0^1J_\nu(j_mt)\,f(t)\,t\,dt \] in einem inneren Punkte des Intervalles (0, 1) auf das entsprechende Verhalten der Fourierschen Reihe an derselben Stelle zurückgeführt. Daher genügt es, das Gibbs’sche Phänomen bei den Bessel-Fourierschen Reihen nur für \(x=0\) und \(x=1\) zu betrachten.
Ganz analog wird beim Bessel-Fourierschen Integral \[ \tag{2} \int\limits_0^\infty J_\nu(xu)\,u\,du\, \int\limits_0^\infty J_\nu(tu)\,f(t)\,t\,dt \] die Konvergenzuntersuchung für \(x>0\) auf das Fouriersche Integral zurückgeführt, und somit genügt es in diesem Falle, das Gibbs’sche Phänomen nur für \(x=0\) zu betrachten.
Setzt man: \[ \tag{3} s_n(x)=\sum\limits_{m=1}^n A_mJ_\nu(j_mx), \]
\[ \tag{4} I_\mu(x)=\int\limits_0^\mu J_\nu(xu)\,u\,du\, \int\limits_0^\infty J_\nu(tu)\,f(t)\,t\,dt, \] so untersucht der Verf. die folgenden Quotienten: \[ \tag{5} G=\lim_{n\to\infty}\frac{\text{Max}\, s_n(x)}{f(+0)}\;\; \text{bzw.}\;\;\lim_{n\to\infty}\frac{\text{Max}\, s_n(x)}{f(1-0)}, \]
\[ \tag{6} G=\lim_{\mu\to\infty} \frac{\text{Max}\,I_\mu(x)}{f(+0)}, \] wobei \(\text{Max}\,s_n(x)\) bzw. \(\text{Max}\,I_\mu(x)\) das Maximum von \(s_n(x)\) bzw. \(I_\mu(x)\) in der unmittelbaren Umgebung von \(x=0\) bzw. \(x=1\) bedeutet.
Verf. verallgemeinert die zu (5) und (6) führende Fragestellung, indem er Fälle betrachtet, in welchen ein Parameter \(\alpha\) vorkommt, so daß für \(\alpha=0\) sich (5) bzw. (6) ergibt. Er bekommt explizite Ausdrücke für \(G\), die vom Index \(\nu\) der Besselschen Funktion \(J_\nu(x)\) und dem Parameter \(\alpha\) abhängen. (IV 3 D.)