Sur les fonctions conjuguées. (French) JFM 53.0259.02
Der Verf. beweist, daß die konjugierte Reihe zur Fourierschen Reihe einer Funktion \(f(x)\), die mit ihrer \(p\)-ten Potenz (\(p > 1\)) \(L\)-integrierbar ist, Fouriersche Reihe einer Funktion \(\bar{f} (x)\) mit derselben Eigenschaft ist. Der Beweis stützt sich auf die Ungleichung:
\[
\int\limits |V(r,\theta)|^p\,d\theta\leqq M^p_p\int\limits_0^{z_r}|U(r,\theta)|^p\,d\theta
\]
(\(U (r, \theta)\) und \(V (r, \theta)\) bedeuten zwei konjugierte Potentialfunktionen, \(V(0, \theta) = 0\)), die vermittels des Cauchyschen Integralsatzes bewiesen wird. Als weitere Folgerungen ergeben sich u. a.:
Im zweiten Teil der Arbeit werden die Resultate ausgedehnt auf den Fall eines unendlichen Intervalls, wobei z. B. c) jetzt lautet: \[ \left|\,\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{f(x)g(y)}{x-y}\,dx\,dy\right|\leqq M_p \left(\,\int\limits_{-\infty}^\infty|f(x)|^p\,dx\right)^{\frac 1p} \left(\,\int\limits_{-\infty}^\infty|g(x)|^q\,dx\right)^{\frac 1q}, \] und zum Schluß werden analoge Sätze für die entsprechenden Bilinearformen von unendlich vielen Veränderlichen aufgestellt. Vgl. auch die nachstehend referierte Arbeit desselben Verf.
- a)
- in Ausdehnung des Parsevalschen Satzes auf die Partialsummen \(s_n(x)\) der Funktion \(f (x)\), die mit ihrer \(p\)-ten Potenz integrierbar ist, \[ \lim_{n\to\infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}|f(x)-s_n(x)|\,dx=0, \]
- b)
- \(\frac 1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,dx=\frac {a_0\alpha_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\alpha_n+b_n\beta_n)\),
- c)
- \(\frac 1{2\pi}\left|\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(x)g(y) \operatorname{ctg}\frac {x-y}2\,dx\,dy\right|\leqq M_p \left(\int\limits_0^{2\pi}|f(x)^p|\,dx\right)^{\frac 1p} \left(\int\limits_0^{2\pi}|g(x)|^q\,dx\right)^{\frac 1q}\),
Im zweiten Teil der Arbeit werden die Resultate ausgedehnt auf den Fall eines unendlichen Intervalls, wobei z. B. c) jetzt lautet: \[ \left|\,\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{f(x)g(y)}{x-y}\,dx\,dy\right|\leqq M_p \left(\,\int\limits_{-\infty}^\infty|f(x)|^p\,dx\right)^{\frac 1p} \left(\,\int\limits_{-\infty}^\infty|g(x)|^q\,dx\right)^{\frac 1q}, \] und zum Schluß werden analoge Sätze für die entsprechenden Bilinearformen von unendlich vielen Veränderlichen aufgestellt. Vgl. auch die nachstehend referierte Arbeit desselben Verf.
Reviewer: Plessner, A., Dr. (Berlin)
MSC:
42A16 | Fourier coefficients, Fourier series of functions with special properties, special Fourier series |