Gegenstand der Untersuchung sind die ebenen Mengen, denen nach Carathéodory ein lineares Maß zukommt. Mit Hilfe des linearen äußeren bezw. inneren Maßes wird für jeden Punkt, möge er zur Menge gehören oder nicht, die obere bezw. untere (lineare) Dichte definiert. Stimmen obere und untere Dichte überein, so spricht man von der Dichte schlechthin. Von den interessanten Resultaten der Untersuchung seien folgende hervorgehoben: Für fast alle Punkte einer ebenen Menge \(A\) ist die obere Dichte zwischen \(1/2\) und 1, die untere zwischen 0 und 1 gelegen, und diese Grenzen können im allgemeinen nicht weiter eingeengt, werden. Sind \(A\) und \(B\) linear meßbare Mengen positiven Maßes, und ist \(A\) eine Untermenge von \(B\), so ist in fast allen Punkten von \(A\) die untere und obere Dichte inbezug auf \(A\) die gleiche wie in bezug auf \(B\).
Versteht man unter einem regulären Punkt einer Menge A einen Punkt mit der Dichte 1 und nennt man jeden ändern Punkt von \(A\) einen irregulären Punkt, so gilt bei geeigneter Definition der Tangente folgende Tatsache: In fast allen regulären Punkten einer linear meßbaren Menge existieren Tangenten an die Menge; in fast allen irregulären Punkten gibt es keine Tangente.
Endlich sei noch folgender Satz angeführt: Zu jeder linear meßbaren Menge, die fast nur aus regulären Punkten besteht, gibt es eine endliche oder abzählbare Menge von rektifizierbaren Kurven, die fast alle Punkte von \(A\) enthält, und deren Gesamt-Maß beliebig nahe an das Maß von \(A\) herankommt. Zu jeder linear meßbaren und fast nur aus irregulären Punkten bestehenden Menge gibt es eine endliche oder abzählbare Menge von Jordan-Kurven, die fast alle Punkte von \(A\) enthält.