Inhaltsverzeichnis: 1. Ebene lineare Kurvensysteme. 2. Die Grundlagen der Geometrie auf der Kurve (Linearscharen, birationale Transformationen). 3. Äquivalenz von Punktgruppen, lineare Vollscharen. 4. Das Geschlecht einer Kurve. 5. Die Geometrie der Linearscharen (Restsatz, Riemann-Rochscher Satz) nach der Methode des Verf. 6. Korrespondenzen zwischen algebraischen Kurven. 7. Die Geometrie der Linearscharen nach der synthetischen Methode von Segre-Castelnuovo. 8. Die Geometrie der Linearscharen nach der algebraischen Methode von Brill-Noether. Cremona-Transformationen, Auflösung der Singularitäten.
Das Buch enthält eine möglichst strenge und straffe Darstellung der algebraischen und geometrischen Methoden, die gleichlaufend zum Aufbau der Geometrie der birationalen Transformationen auf einer Kurve verwendet werden. Die groß angelegte Linie gestattet zugleich Seitenblicke nach der Geometrie der höheren Mannigfaltigkeiten (Flächen usw.) und nach der dem Verf. am Herzen liegenden Theorie der analytischen Funktionen mehrerer Variablen. Der Kern dieser Geometrie ist immer der Brill-Noethersche Restsatz in Verbindung mit dem Riemann-Rochschen Satze; es ist daher einer der Hauptreize des Buches, drei verschiedene Zugänge zu diesen Sätzen darzustellen: den klassischen, auf dem Zerlegungssatz \(Af+B\varphi\) beruhenden Weg von Brill und Noether mit Benutzung der adjungierten Kurven, die Methode von Castelnuovo und Segre, die auf der Abzählung der \((r+1)\)-punktigen Gruppen beruht, die einer Linearschar \(g^r_n\) und einer \(g^1_m\) gemein sind, und mit der Darstellung der Linearscharen durch Überebenenschnitte einer Überraumkurve arbeitet, und schließlich die vom Verf. 1920 entwickelte rascheste Methode, die auf die Weierstraßsche Deutung des Geschlechts zurückgreift.
Die vollständige geometrische Theorie der algebraischen Korrespondenzen zwischen Kurven (Zeuthen und v. Brill) schließt den Aufbau der Geometrie ab. Im Gegensatz zu seinen “Vorlesungen über algebraische Geometrie” [Leipzig etc.: B. G. Teubner(1921; JFM 48.0687.01)] behandelt Verf. hier nicht die schwierigen Existenzsätze, die sich an Geschlecht und Moduln einer Kurve knüpfen, und die transzendente Theorie der Abelschen Integrale. Auch die funktionentheoretische und arithmetische Seite des Stoffes bleibt unberührt. Die vielen auf Geschichte und Schrifttum bezüglichen Bemerkungen, die zahlreichen eigenen Gedankengänge, die Verf. seinen erfolgreichen Arbeiten entnimmt, die strenge, knappe Form geben dem Ganzen endgültiges Gepräge. (V 5 A.)
Weitere Besprechungen: G. Albanese, Boll. Un. Mat. Ital. 6 (1927), 211–219; L. Godeaux, Bull. Sci. Math. (2) 52 (1928), 285–289; J. L. Coolidge, Bull. Am. Math. Soc. 34 (1928), 109–114.