Proof of an inequality. (English) JFM 52.0211.03
Einfacher Beweis des Satzes von T. Carleman [5. Kongreß der Skandinavischen Mathematiker in Helsingfors, 4.–7. Juli 1922. Helsingfors: Akadem. Buchh., 181–196 (1923; JFM 49.0705.04)): Für \(a_n\geq 0\) ist
\[ \sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\ldots a_n)^{\frac1n}<e\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \] wenn die Reihe auf der rechten Seite nach einem Werte konvergiert, der größer als Null ist. Der Satz wird falsch, wenn man \(e\) durch eine kleinere Konstante ersetzt.
\[ \sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\ldots a_n)^{\frac1n}<e\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \] wenn die Reihe auf der rechten Seite nach einem Werte konvergiert, der größer als Null ist. Der Satz wird falsch, wenn man \(e\) durch eine kleinere Konstante ersetzt.
Reviewer: Hilb, E., Prof. (Würzburg)
MSC:
| 30A10 | Inequalities in the complex plane |
