Das Clifford-Kleinsche Raumproblem, d. h. die Aufgabe, alle unberandeten, zusammenhängenden \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, auf denen durch eine positiv definite Differentialform eine Maßbestimmung mit konstanter Riemannscher Krümmung definiert werden kann, zu finden, ist von Killing (1893; F. d. M. 25, 853 (JFM 25.0853.*)) auf die Bestimmung aller diskontinuierlichen Gruppen fixpunktfreier Bewegungen (im Sinne der betreffenden Geometrie) des euklidischen, hyperbolischen und sphärischen Raumes zurückgeführt worden.
In §1 der vorliegenden Arbeit gibt Verf. mit Hilfe topologischer Begriffsbildungen (des universellen Überlagerungsraumes einer Mannigfaltigkeit und der Gruppe der Decktransformationen) eine neue, durchsichtige Darstellung des Killingschen Resultats und füllt eine bei der Aufzählung der zweidimensionalen euklidischen Raumformen in der Literatur (Klein 1890; F.d. M. 22, 535; Enriques, Prinzipien der Geometrie, Enzyklopädie III, A B 1) bestehende Lücke (Fehlen des unberandeten Möbius’schen Bandes) aus.
§2 enthält auf gruppentheoretischer Grundlage eine ausführliche Untersuchung der sphärischen Raumformen, die, je nachdem ob der \(n\)-dimensionale projektive Raum als reguläre Überlagerungsmannigfaltigkeit auftritt oder nicht, als elliptische oder nichtelliptische bezeichnet werden. Besonders ausführlich wird im Anschluß an Untersuchungen von Klein der dreidimensionale Fall behandelt, und auch hier ein in der Literatur bestehender Irrtum berichtigt: Außer den in der Enzyklopädie (l. c.) als einzige genannten zyklischen Schiebungsgruppen und den nicht-zyklischen Schiebungsgruppen (Polyedergruppen), auf die Woods (1905; F. d. M. 36, 522 (JFM 36.0522.*)) aufmerksam gemacht hat, gibt es noch zyklische Schraubungsgruppen und unendlich viele andere, Schraubungen enthaltende Gruppen von ziemlich kompliziertem Bau, die als Gruppe der Decktransformationen zur Bildung von elliptischen Raumformen in Frage kommen. Bei nicht elliptischen sphärischen dreidimensionalen Raumformen können dagegen nur zyklische Gruppen auftreten.
§3 handelt von der Gültigkeit des Jordanschen Satzes in Clifford-Kleinschen Mannigfaltigkeiten. Aus der Tatsache, daß der universelle Überlagerungsraum der \(n\)-dimensionalen Kugel oder der einmal gelochten Kugel homöomorph ist, wird hier auf die Gültigkeit von Zerlegungssätzen durch (\(n-1\))-dimensionale Mannigfaltigkeiten geschlossen.
§4 behandelt Abbildungsfragen. Für die Abbildungen einer euklidischen oder hyperbolischen Clifford-Kleinschen Mannigfaltigkeit auf sich, die zur Klasse der Identität gehören, ist charakteristisch, daß die entsprechenden Abbildungen des universellen Überlagerungsraumes mit allen Decktransformationen vertauschbar sind (eine Bedingung, die bei beliebigen Mannigfaltigkeiten nicht hinreichend ist). Ferner wird gezeigt, daß das eindeutige, stetige Bild einer einfach zusammenhängenden geschlossenen Mannigfaltigkeit auf eine euklidische oder hyperbolische Clifford-Kleinsche Raumform (infolge der Offenheit des Überlagerungsraumes) stetig auf einen Punkt zusammengezogen werden kann. (V 2, V 6 C.)