Additive Theorie der Zahlkörper. II. (German) JFM 49.0128.01
Beweis für die Darstellbarkeit aller total positiven ganzen Zahlen eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers als Summe von 4 Quadratzahlen, welche dem Körper angehören und beschränkte ganze rationale Nenner haben. Benutzt werden Thetafunktionen von mehreren Variabeln in der Nähe des Randes ihres Existenzbereiches, komplexe Integration und ein Satz über die Approximation beliebiger Größen durch Zahlen des Körpers; sämtlich Übertragungen von Hilfsmitteln, die Hardy und Littlewood für den Körper der rationalen Zahlen, angegeben haben.
Reviewer: Siegel, C., Prof. (Frankfurt a. M.)
References:
| [1] | Dort befinden sich ausführliche Angaben der Literatur. |
| [2] | Das Problem der Darstellungbeliebiger total positiver Zahlen eines Körpers als Summen von vierbeliebigen Quadratzahlen desselben Körpers ist bereits mit einfacheren Mitteln gelöst worden; vgl. meine AbhandlungDarstellung total positiver Zahlen durch Quadrate [Mathematische Zeitschrift11 (1921), S. 246–275]. Das wichtigste Hilfsmittel meiner damaligen Beweisführung, das Hilbert-Furtwänglersche quadratische Reziprozitätsgesetz, wird auch in der vorliegenden Arbeit implizite mitbewiesen und benutzt. Die Forderung derGanzzahligkeit der Quadratzahlen stellt einesehr wesentliche Erschwerung des Problems dar, die man mit rein arithmetischen Mitteln wohl kaum würde bewältigen können. Man vergleiche hierzu z. B. das Problem der Darstellung einer natürlichen Zahl als Summe von vier nicht negativenrationalen oder von neun nicht negativenganzen rationalen Kuben; die erste dieser beiden Aufgaben ist fast trivial, die zweite ziemlich schwierig. |
| [3] | Es ist vorteilhaft, die Zahl 0 (such im Falle eines total imaginären Körpers) nicht als total positiv anzusehen. Natürlich ist Satz I auch, für {\(\mu\)}=0 richtig. |
| [4] | Eine obere Abschätzung der rechten Seite von (8) däßt sich zwar angeben, ist aber für den Beweis von Satz II ohne Interesse. |
| [5] | Für einen sehr hübschen Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes in beliebigen quadratischen Körpern vgl. man die Abhandlung von L. J. MordellOn the reciprocity formula for the Gauss’s sums in the quadratic field [Proceedings of the London Mathematical Society (2)20 (1921), S. 289–296]. · JFM 48.0169.03 · doi:10.1112/plms/s2-20.1.289 |
| [6] | Man kann sich zum Studium der quadratischen Formen in total reellen Körpernn-ten Grades auch der Modulfunktionen vonn Veränderlichen bedienen, in derselben Weise, wie Mordell es im Fallen=1 tut. Bei dem in der vorliegenden Arbeit behandelten Problem gelangt man so zu einer Verallgemeinerung des ersten Beweises des Satzes von Jacobi über die Zerlegung natürlicher Zahlen in 4 Quadrate. |
| [7] | Zwei Systeme von jen Zahlenu (1),...,u (n) undv (1),...,v (n) heißen inkongruent mod 1/b, wenn dien Differenzenu (1) (1),...,u (n) (n) nicht dien Konjugierten einer Zahl des Ideals 1/b sind. |
| [8] | Es ist (a) gleich der Anzahl der modulo a inkongruenten zu a teilerfremden ganzen Zahlen. |
| [9] | Ist I1|2, so tritt natürlich der Fall eines geradena nicht auf. |
| [10] | Vgl. Fußnote 11)Ist I1|2, so tritt natürlich der Fall eines geradena nicht auf. |
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